Веселые и грустные числа

Вычитали в книге «Математическая пицца» такую задачку: числа приходят на осмотр к врачу, а врач говорит, какое у числа настроение — веселое оно или грустное.
Определяется так: каждая цифра числа умножается на себя (возводится в квадрат), эти квадраты складываются, с полученным числом операция повторяется, пока не зациклится. Если получится 1 — число веселое, если зациклится на чем-то еще — грустное.

Например:
7 → 49 → 16 + 81 = 97 → 130 → 10 → 1 это веселое число. Проверьте сами еще какое-нибудь.

Что тут вижу я:
1) интересно обсудить, почему вообще процесс зациклится;
2) интересно брать все числа подряд и исследовать: много ли веселых, нет ли у них какого-то общего свойства;
3) а есть кто-то, кроме единицы, кто в себя сразу перейдет;
4) в процессе вылезают всякие мелочи: из веселого числа получаются только веселые, если цифры переставить или 0 в середину запихнуть, настроение не изменится.

Что получилось:
Ильке было интересней полистать книжку дальше, чем зависнуть на одной задаче. Тем не менее мы поисследовали числа до 16 (после 8 процесс идет совсем быстро, большинство чисел уже где-то встречались). Грустных чисел очень много, а жаль, видимо, названия не самые удачные.

Это лингвистическая задачка из последнего номера «Квантика»
https://kvantik.com/

Мне подарили журнал в первый день съезда учителей математики и я с первого взгляда распознала самый последний город в первом столбце.

Дальше понятно — надо взять листочек, аккуратно переписать, надписывать сверху известные буквы. Весь съезд я носила журнал с собой в надежде дорешать, но слишком много усилий надо было для начала.

Вернувшись, я отдала журнал Ильке и предложила решить задачу вместе. Рассказала про угаданный мной город. И, самый важный шаг, дала ручку и предложила писать прям в журнале — было бы здорово, если бы при верстке там оставили место специально для этого и предложили прямо в журнале порешать.

Илька увлеченно искал буквы, догадывался до названий городов. Я иногда подсказывала города. Вместе мы обсуждали, обнаруженные особенности грузинского языка. (Не буду спойлерить, решите сами.)

Теперь вот думаю, как убедить редакцию, что писать и рисовать прям в журнале — отличная идея.

Тут есть еще одна история. Прямо при публикации картинки здесь я обнаружила, что на странице есть еще одно грузинское слово, которое мы с Илькой не перевели: ქალაქი — слово на картинке сверху. Я увидела в этом еще одну задачку, которую пропустила исходно, думала, что там еще одно название города.

Достали журнал, восстановили все буквы, кроме одной, города такого не придумали. Залезли в ответы — и там про это слово ничего нет. Оказалось, что это не название города, а кое-что другое.

Возьмите кружку, маркер, нарисуйте три дома и три колодца. Соедините каждый дом с каждым колодцем дорожкой так, чтобы дорожки не пересекались.

Эта задача опубликована в «Квантике» №8 за 2020 год. Там же есть сказка «Как Бусенька рисовала K3,3», где объясняется, почему на плоскости ничего не получится.

Все номера «Квантика» в архиве

Мы взяли белую кружку и стирающиеся маркеры. Нарисовали три домика и три цветных колодца. Стали проводить дорожки. И ничего у нас не вышло. С наскока не решается. Ладно, утром еще раз попробуем.

У журнала «Квантик» появился телеграм-канал, приходите туда за задачками.

Оставила на ночь кружку с маркерами на столе. И когда проснулась, уже было решение.

Папа увидел разрисованную кружку и спросил:
— А К5 тоже на кружке можно нарисовать?
— Конечно, можно, хорошая идея — обрадовалась я.
— А что такое К5? — спросил Илька.

Я объясняю:
— Представь себе пятиугольник, проведи в нем все диагонали. Вот такая картинка, 5 вершин и каждая соединена со всеми остальными, называется К5.

Папа объясняет:
— Вы это обсуждали в терминах домиков и колодцев?
— Да.
— Теперь у тебя есть 5 домиков и от каждого надо провести дорожки ко всем остальным, чтобы дорожки не пересекались.

Снова я:
— Я вот что хочу объяснить: Кn — полный граф на n вершинах. К3 — треугольник — три вершины, и каждая с остальными соединена. К4 — четырехугольник с диагоналями. Число — количество вершин, а полный — это означает, что есть все ребра.

И продолжаю, показывая на кружку: — Вот это К3,3 — три дома, три колодца, полный двудольный граф. В одной доле 3 вершины — домики, в другой тоже 3 — колодцы. Внутри каждой доли ребер (дорожек) нет, зато между долями есть все возможные, это и означает, что он полный двудольный.

А потом я нарисовала на кружке 5 домиков, а Илька добавил дорожки.

Минус на минус дает плюс

Обсуждали тут с коллегой, как доказать что (−1)·(−1)=1.

Будем ехать по числовой прямой.
Если мы едем в положительном направлении со скоростью 1, то за время 1, проедем расстояние 1.
Если у нас скорость отрицательная, то это всё равно, что мы движемся в обратную сторону. Тогда двигаясь со скоростью (−1) мы за время 1, сместимся на −1.
Если отрицательное время, то это всё равно что мы записали на пленку, как мы ехали и теперь прокручиваем пленку в обратную сторону. Если мы едем со скоростью 1, время равно −1, то посмотрев на пленку мы увидим движение назад, то есть сместимся на −1.

Теперь и то, и то: и время отрицательное, и скорость. Едем назад, но пленку прокручиваем в обратном направлении, то есть на пленке едем вперед. В результате смещаемся на 1.

Как Данька умножать учился (часть 1)

Даньке сейчас 5 с половиной и он очень любит примеры на сложение двузначных чисел. Прям просит: «А задайте мне еще пример» и очень радуется, когда получается.

И вот картина: вылет в 3 часа ночи, длинная очередь на регистрацию на рейс, время где-то 0:20, Данька только что спал в аэроэкспрессе, проснулся и чтобы взбодриться спрашивает: «А дайте мне пример!».

А у мамы (меня) забот больше никаких в этот момент, я и говорю: «А давай научимся умножать!»

— Вот смотри, чтобы число умножить на 2, надо его прибавить к себе. Сколько будет 10•2?
<пауза>
Это то же самое, что 10+10.
— 20 — бодро отвечает Данька.
— А сколько будет 20•2?
— Это 20+20, то есть 40!

Я считаю, что уже победа и задаю контрольный вопрос:
— А сколько будет 18•2?
— А это все равно что что прибавить?
— 18+18
И тут Данька задумывается. Слышен скрип извилин, видно что трудно. И папа, и Илька хором объясняют мне, что я выбрала не самое удачное время.

Данька потом попросил еще примеры, но без умножения.

Как Данька умножать учился (часть 2)

Позже оказалось, что наш ночной разговор был не зря. Данька вспомнил и специально попросил про умножение.

Мы поумножали разные числа на 2. Потом поумножали на 1. Потом поумножали небольшие числа на 3.

Потом я попробовала аккуратно:
3•2 = 6
А 2•3?

Похоже, Данька знает, как данность, что не важно в каком порядке брать числа, и не задумывается об этом. Наверное, это Илюха ему рассказал.

Видно, что 3•3=9 воспринимается существенно легче, чем 2•3=6. Видимо, меньше в голове держать надо.

А дальше мы сразу, чтобы времени зря не терять, начали делить!

Еще немного об умножении

Это всё устные разговоры. И мне бы хотелось визуализации:
— брать шоколадку, считать количество долек,
— камешки рядочками выкладывать.

Но это как-то не сложилось, всё на ходу и устно.

И у меня нет цели чему-то конкретному пораньше научить. Есть запрос от Даньки, и я на него отвечаю. А сама думаю, в какую сторону уйти от простых арифметических действий.

Время доставать с полки книжку Звонкина.

Мальчик в лифте

Стала вспоминать, что там у Звонкина было, вспомнила задачку, тут же Даньке предложила:

— Мальчик живет на 11 этаже.
— Как мы!
— И спускается на лифте на первый этаж.
— А ему 5 с половиной лет?
— Да!
— Хорошо, тогда я старше.
— А вот когда он обратно едет, он обычно поднимается на лифте только до 8 этажа, а потом идет пешком. Почему он так делает?

Всё утро Данька генерировал идеи, сводящиеся к тому, что мальчик не устал, и так быстрее. И что лифт вверх медленнее идет, чем вниз и чем мальчик бегает. Обсудили устройство лифта.

Данька и сам признавал, что нет, пешком медленнее, особенно вверх.

Илюха добавил:
— А когда он едет обратно с кем-то в лифте, он едет сразу до 11.

Возвращаемся из сада, заходим в лифт:
— Мам, нажимай! А помнишь задачку про мальчика? Ааа..

(Я радуюсь, что сам вспомнил, и думаю, что догадался. Но нет, очередная идея, что пешком быстрее и собственный вывод в конце, что нет, не быстрее).

Уже дома:
— Я сдаюсь.
— Ну ты вот сейчас в лифте почему не нажал?
— Ааа.. (Это уже догадался). У него просто ноги еще не выросли, и он дотягивается только до 8. А я тогда выше, я дотягиваюсь до 9.

И тут же сам продолжает:
— А почему когда едет с кем-то, то сразу едет до 11?
— Ну ты сейчас со мной ехал..
— Ааа.. Точно! Этот кто-то нажимает кнопку.

Как я обожаю вот это: «Ааа..» и радость догадки.