Привет! Меня зовут Любовь. В моей голове скопилось много идей, которыми я хочу поделиться.
Что здесь будет?
Интересные задачи и их разборы.
Рассказы о замечательных учёных, которые создавали и создают картину нашего мира.
Увлекательные факты из мира математики.
Присоединяйтесь! 💚
Что здесь будет?
Интересные задачи и их разборы.
Рассказы о замечательных учёных, которые создавали и создают картину нашего мира.
Увлекательные факты из мира математики.
Присоединяйтесь! 💚
Математика с Любовью pinned «Привет! Меня зовут Любовь. В моей голове скопилось много идей, которыми я хочу поделиться. Что здесь будет? Интересные задачи и их разборы. Рассказы о замечательных учёных, которые создавали и создают картину нашего мира. Увлекательные факты из мира математики.…»
Со слов «Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человека» началась моя первая лекция на мат-мехе в 2007 году. С этой цитаты Леопольда Кронекера сегодня я начинаю свой первый пост.
Культуре вычислений уже несколько тысяч лет, когда-то давным-давно нашим предкам понадобилось пересчитать предметы или скот. Можно считать, что именно с этой нужды и стартовала арифметика. Но что мы знаем о числах?
Для современного человека нет особой трудности в переходе от подсчета яблок в корзинке к операциям над абстрактными объектами. Но всегда ли так было? Блез Паскаль в 17 веке писал: «Я знаю людей, которые никак не могут понять, что если из нуля вычесть четыре, то получится нуль». Звучит как какая-то шутка, согласны? Хотя в Амазонии до сих пор живут племена, для которых вычитание является недоступной операцией. Если спросить у жителя племени мундуруку: «Сколько будет пять минус три?» – ответа не дождешься.
Сегодня мы не будем говорить о том, как устроено сознание и как наш мозг переносит знание о реальных объектах, их количестве и операциях над ними на воображаемые.
Сегодня я хочу рассказать вам об аксиоматике Пеано. Это один из способов формализовать задание ряда натуральных чисел.
• 1 является натуральным числом;
• Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
• 1 не следует ни за каким натуральным числом;
• Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
• (Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Непротиворечивость арифметики Пеано была доказана в 1936 году Герхардом Генценом. Сегодня же задачи из области теории чисел, задачи на метод математической индукции знакомы практически каждому школьнику, участвующему в математическом олимпиадном движении. Кажется, что без исторических экскурсов изучение математики не может быть полноценным. Надеюсь, что смогу показать вам прекрасный и сложный мир прошлого и будущего математики!
#love_арифметика
Культуре вычислений уже несколько тысяч лет, когда-то давным-давно нашим предкам понадобилось пересчитать предметы или скот. Можно считать, что именно с этой нужды и стартовала арифметика. Но что мы знаем о числах?
Для современного человека нет особой трудности в переходе от подсчета яблок в корзинке к операциям над абстрактными объектами. Но всегда ли так было? Блез Паскаль в 17 веке писал: «Я знаю людей, которые никак не могут понять, что если из нуля вычесть четыре, то получится нуль». Звучит как какая-то шутка, согласны? Хотя в Амазонии до сих пор живут племена, для которых вычитание является недоступной операцией. Если спросить у жителя племени мундуруку: «Сколько будет пять минус три?» – ответа не дождешься.
Сегодня мы не будем говорить о том, как устроено сознание и как наш мозг переносит знание о реальных объектах, их количестве и операциях над ними на воображаемые.
Сегодня я хочу рассказать вам об аксиоматике Пеано. Это один из способов формализовать задание ряда натуральных чисел.
• 1 является натуральным числом;
• Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
• 1 не следует ни за каким натуральным числом;
• Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
• (Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Непротиворечивость арифметики Пеано была доказана в 1936 году Герхардом Генценом. Сегодня же задачи из области теории чисел, задачи на метод математической индукции знакомы практически каждому школьнику, участвующему в математическом олимпиадном движении. Кажется, что без исторических экскурсов изучение математики не может быть полноценным. Надеюсь, что смогу показать вам прекрасный и сложный мир прошлого и будущего математики!
#love_арифметика
👍1
«Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки», Мартин Гарднер.
Сегодня я хотела бы затронуть разом две темы. Продолжить рассказ об аксиоматике Пеано и рассмотреть метод математической индукции, приправив парочкой соответствующих математических софизмов.
Итак, что же скрывается за тремя буквами: ММИ?
Пусть A(1), A(2), A(3), ... — последовательность утверждений. Если мы можем доказать, что очередное утверждение A(n) верно, считая верными все предыдущие, то можно утверждать, что все утверждения верны.
Для доказательства в задачах применяется следующая схема:
1. БАЗА ИНДУКЦИИ. Проверяют справедливость утверждения при n = 1 (или при первом допустимом по условию задачи значении n).
2. ИНДУКЦИОННОЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ. Предполагают, что при произвольном значении n = k утверждение верно. Либо, что при всех равных k и меньших его.
3. ИНДУКЦИОННЫЙ ПЕРЕХОД. Доказывают, что при следующем значении n = k + 1 утверждение верно, используя предыдущий пункт 2.
Очень часто рассказывая про математическую индукцию, приводят следующую аналогию: пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.
Как же связана индукция с софизмами? Давайте разберемся на примере пары задач.
1. Докажем, что в автобус помещается любое количество народу. В самом деле, один человек помещается без труда (базис индукции); с другой стороны, как бы ни был набит автобус, уж один-то человек в него всегда влезет (шаг индукции).
2. Докажем, что все лошади одной масти. Доказательство проведём индукцией по числу N лошадей. При N=1 утверждение тривиально. Пусть все табуны из N лошадей одной масти; докажем для табуна из N+1 лошадей. Уберём одну лошадь; все оставшиеся имеют одинаковую масть по предположению индукции. Вернём лошадь в табун и заберём другую лошадь. Тогда и ранее отделявшаяся лошадь получается той же масти.
Внимательный читатель легко найдет ошибки в решениях, конечно. Но сами задачи ведут нас к следующей теме разговора: математический софизм. Это ошибочное математическое утверждение, полученное с помощью рассуждений, которые кажутся правильными, но в действительности содержат ту или иную ошибку. Причины ошибки могут быть разнообразными — применение запрещённых в математике действий (например, деление на ноль), неточное использование математических законов или использование вне зоны их применимости, логические ошибки и т. д.
Я уверена, что навык поиска ошибок в своём ли решении, в известном ли софизме крайне полезен для любого человека. Вообще, осознавая ошибку, человек имеет гораздо больше шансов не допустить ее впоследствии.
В качестве бонуса прикрепляю ссылку на отличный учебник про индукцию: https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-induction.pdf
#love_логика
Сегодня я хотела бы затронуть разом две темы. Продолжить рассказ об аксиоматике Пеано и рассмотреть метод математической индукции, приправив парочкой соответствующих математических софизмов.
Итак, что же скрывается за тремя буквами: ММИ?
Пусть A(1), A(2), A(3), ... — последовательность утверждений. Если мы можем доказать, что очередное утверждение A(n) верно, считая верными все предыдущие, то можно утверждать, что все утверждения верны.
Для доказательства в задачах применяется следующая схема:
1. БАЗА ИНДУКЦИИ. Проверяют справедливость утверждения при n = 1 (или при первом допустимом по условию задачи значении n).
2. ИНДУКЦИОННОЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ. Предполагают, что при произвольном значении n = k утверждение верно. Либо, что при всех равных k и меньших его.
3. ИНДУКЦИОННЫЙ ПЕРЕХОД. Доказывают, что при следующем значении n = k + 1 утверждение верно, используя предыдущий пункт 2.
Очень часто рассказывая про математическую индукцию, приводят следующую аналогию: пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.
Как же связана индукция с софизмами? Давайте разберемся на примере пары задач.
1. Докажем, что в автобус помещается любое количество народу. В самом деле, один человек помещается без труда (базис индукции); с другой стороны, как бы ни был набит автобус, уж один-то человек в него всегда влезет (шаг индукции).
2. Докажем, что все лошади одной масти. Доказательство проведём индукцией по числу N лошадей. При N=1 утверждение тривиально. Пусть все табуны из N лошадей одной масти; докажем для табуна из N+1 лошадей. Уберём одну лошадь; все оставшиеся имеют одинаковую масть по предположению индукции. Вернём лошадь в табун и заберём другую лошадь. Тогда и ранее отделявшаяся лошадь получается той же масти.
Внимательный читатель легко найдет ошибки в решениях, конечно. Но сами задачи ведут нас к следующей теме разговора: математический софизм. Это ошибочное математическое утверждение, полученное с помощью рассуждений, которые кажутся правильными, но в действительности содержат ту или иную ошибку. Причины ошибки могут быть разнообразными — применение запрещённых в математике действий (например, деление на ноль), неточное использование математических законов или использование вне зоны их применимости, логические ошибки и т. д.
Я уверена, что навык поиска ошибок в своём ли решении, в известном ли софизме крайне полезен для любого человека. Вообще, осознавая ошибку, человек имеет гораздо больше шансов не допустить ее впоследствии.
В качестве бонуса прикрепляю ссылку на отличный учебник про индукцию: https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-induction.pdf
#love_логика
Пока машина времени существует только в фантастических романах, мы не сможем узнать, в какой именно момент один из древних людей, загибая пальцы на руке или перекладывая палочки, осознал, что изобрел счет. Мы можем быть уверенными лишь в том, что математика должна была с чего-то начаться.
Конечно, точной даты, даже с погрешностью в 1000 лет, уверенно не назовет никто. Но есть некоторые материальные свидетельства, позволяющие в хронологическом порядке проследить за зарождением и развитием математики. Сегодня хочу рассказать о самом раннем из этапов – палеолите.
1. Первая находка, о которой мы знаем и которую ученые относят к первым счетным рейкам, имеет возраст 35000-37000 лет, это так называемая «кость из Лебомбо». Археологи нашли её в горах Лебомбо на территории Свазиленда. Это кость павиана, с нанесенными на нее двадцатью девятью насечками, расположенными по всей длине кости.
2. Вторая значимая находка младше первой на пять тысяч лет, найдена она в Чехии. Эта кость волка имеет уже пятьдесят семь насечек, разделенных на 11 групп по пять и две насечки отдельно.
3. Третья, и самая значимая, находка эпохи палеолита - это кость Ишанго! Была найдена в 1960 году, на территории современного Конго, у верховий реки Нил, бельгийским геологом Жаном Брокуром. По старой доброй палеолитической традиции материалом послужила кость павиана. Историки оценивают возраст находки в 20000 лет!
Анализ насечек показал, что один из рядов отметок на кости начинается с трех бороздок, число которых затем удваивается до шести. Четыре бороздки сменяются восемью. За десятью бороздками следуют пять. Это может свидетельствовать об общем понимании операций удвоения и деления пополам. Еще более удивительным кажется тот факт, что все числа во втором ряду являются нечетными (9, 11, 13, 17, 19, 21). В третьем ряду содержатся все простые числа между 10 и 20, а сумма всех чисел в каждом из трех рядов равняется либо 60, либо 48, а оба этих числа кратны 12.
Такая последовательность бороздок определенно свидетельствует о том, что создатели данной кости уже сделали важный шаг от простого пересчета объектов до операций над ними.
P.S. Интересно, через 20000 лет какие математические находки поразят наших потомков? Калькуляторы? Сборники для подготовке к ЕГЭ?
#love_история_математики
Конечно, точной даты, даже с погрешностью в 1000 лет, уверенно не назовет никто. Но есть некоторые материальные свидетельства, позволяющие в хронологическом порядке проследить за зарождением и развитием математики. Сегодня хочу рассказать о самом раннем из этапов – палеолите.
1. Первая находка, о которой мы знаем и которую ученые относят к первым счетным рейкам, имеет возраст 35000-37000 лет, это так называемая «кость из Лебомбо». Археологи нашли её в горах Лебомбо на территории Свазиленда. Это кость павиана, с нанесенными на нее двадцатью девятью насечками, расположенными по всей длине кости.
2. Вторая значимая находка младше первой на пять тысяч лет, найдена она в Чехии. Эта кость волка имеет уже пятьдесят семь насечек, разделенных на 11 групп по пять и две насечки отдельно.
3. Третья, и самая значимая, находка эпохи палеолита - это кость Ишанго! Была найдена в 1960 году, на территории современного Конго, у верховий реки Нил, бельгийским геологом Жаном Брокуром. По старой доброй палеолитической традиции материалом послужила кость павиана. Историки оценивают возраст находки в 20000 лет!
Анализ насечек показал, что один из рядов отметок на кости начинается с трех бороздок, число которых затем удваивается до шести. Четыре бороздки сменяются восемью. За десятью бороздками следуют пять. Это может свидетельствовать об общем понимании операций удвоения и деления пополам. Еще более удивительным кажется тот факт, что все числа во втором ряду являются нечетными (9, 11, 13, 17, 19, 21). В третьем ряду содержатся все простые числа между 10 и 20, а сумма всех чисел в каждом из трех рядов равняется либо 60, либо 48, а оба этих числа кратны 12.
Такая последовательность бороздок определенно свидетельствует о том, что создатели данной кости уже сделали важный шаг от простого пересчета объектов до операций над ними.
P.S. Интересно, через 20000 лет какие математические находки поразят наших потомков? Калькуляторы? Сборники для подготовке к ЕГЭ?
#love_история_математики