В четырехугольнике ABCD углы A, B и C равны. Докажите, что D лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

В 10-м классе в 1986 году на ленинградской олимпиаде тоже была добрая задача, ставшая сейчас уже классикой. Кстати, сейчас ее нередко дают в теме воробьев...

Красные точки — ортоцентры треугольников ABI, BCI, CDI, DAI.

Добрая задача. Два подобных прямоугольных треугольника расположены как показано на рисунке. Докажите, что центр синей окружности попадает на катет.

(автор Д.В. Фомин)

Еще одно простенькое свойство точки Шалтая. Треугольник, ортоцентр, параллелограмм, точка Шалтая. Доказать, что есть окружность

Кучу классных решений прислали в комментариях, но нет самого важного)

Олимпиадник помни! Точка Шалтая - центр поворотной гомотетии, совмещающей высоты треугольника. (А точка Болтая - центр поворотной гомотетии, совмещающей стороны.)

Легко видеть, что та же поворотная гомотетия совмещает и противоположные вершины параллелограмма...

Добрая задача с окружного этапа ВсОШ.

Польская олимпиада 2009, второй раунд

Еще одна добрая задача с окружного этапа ВсОШ.

Думаю, многие знают классическое утверждение про прямую, соединяющую проекции ортоцентра на биссектрисы внешнего и внутреннего углов треугольника. Но в действительности верно чуть более общее утверждение.

Задача с олимпиады 239, 2010 год, про вписанную и вневписанную окружности. Доказать, что красные отрезки равны.

Всем кто в Нижнем участвует, желаю как минимум получить удовольствие от геометрии)

Главное, чтобы Нижний не стал для вас горьким)

Даны синие окружности, тогда красная кривая — эллипс

Финал ВсОШ 2024, 9.6.

H — ортоцентр, O — центр описанной окружности. Доказать, что XY делит BC пополам.

Не очень свежая задача Финал ВсОШ 2024, 11.6

H — ортоцентр, O — центр описанной окружности. Доказать, что четыре точки лежат на пунктирной окружности, касающейся описанной окружности треугольника.