iggisv9t channel

Forwarded from Графики каждый день (почти) (Tim Sulimov)

Фракталы Ньютона

Маленькая, но довольно интересная вещь.

Напоминание:
Метод Ньютона для поиска корней функции f(x) заключается в последовательном применении к некоторому исходному значению x₀ отображения
xₙ₊₁ = xₙ – f(xₙ) / f'(xₙ).
При "хороших" f и x₀ последовательность {xₙ} сходится к одному из корней f.

Если применять метод Ньютона для
f(x) = x² + 1,
начав с некоторого вещественного x₀, то вроде бы ничего особо интересного не получим. Точки будут скакать туда-сюда (рис. 1).

Но метод Ньютона работает много над какими полями, в частности над комплексными числами.

Если начать с
x₀ = 1 + i,
последовательность быстро сойдётся к i (рис. 2), а если, скажем, с
x₀ = 5 – 2i,
то к –i (рис. 3).
Несложно доказать, что области, откуда последовательность будет приходить в соответствующий корень, выглядят очень просто: это верхняя и нижняя полуплоскость.
На рис. 4 каждая точка из решётки, приближающей квадрат со стороной 2 вокруг нуля, окрашена в цвет, отвечающий тому корню, куда придёт последовательность.
Этот результат понятен, и ясно, как обобщить его на произвольный многочлен второй степени.

А что будет, если корней больше?

Получатся (просто по определению) множества Фату для рассматриваемого отображения. Это фрактальные множества, которые можно нарисовать численно, просто беря точки из решётки.
Два примера показаны на рис. 5 и 6.
Можно заметить, что отображения всегда выглядят довольно просто:
xₙ₊₁ = xₙ – ( Σᵢ (xₙ – rᵢ)⁻¹ )⁻¹,
где {rᵢ} — корни f.

Точки, не попавшие ни в одно из этих множеств Фату, образуют множество Жюлиа (рис. 7 и 8). В самом первом примере это множество было просто вещественной осью (это, разумеется, самый лучший одномерный фрактал).

Описанные картины называются (довольно естественно) фракталами Ньютона.

В комментариях .nb, в котором можно построить что-нибудь своё. Правда, вы не найдёте там каких-то продвинутых погромистских методов.

1.07K views16:45