Какой был бы аналог гипотезы Эренпрайса (теоремы Кана-Марковича) для пространств полигонов?

Для любых двух замкнутых ломаных в R^3 и числа \epsilon>0
эти ломаные можно подразбить так чтобы новые ломаные лежали в одном пространстве Каповича-Милсона (то есть чтобы число и длины ребер совпадали) и чтобы расстояние Каповича-Милсона между ними было меньше \epsilon.

Это не похоже на правду, но может метрику надо нормаировать.

Решение:

1) если у нас есть семейство вложений F_t графа в плоскость то по формуле первой вариации длины инфинитезимальное изменение длины отрезка равно сумме проекций скоростей концов.
2) продолжим N ног паутины до бесконечности и будем смотреть только на паутину внутри круга. возьмем F_t = 1/t. производная длины по F'_t равна нулю в любой момент времение потому что F_t сохраняет углы и след свойство сбалансированности.
3) при t \to infty паутина стремится к объединению N радиусов для которых общая длина равна N.

о
https://arxiv.org/abs/2510.17447

Polyhedral Kähler metrics on ℂℙn Martin de Borbon, Dmitri Panov

We give necessary and sufficient conditions for the existence of polyhedral Kähler metrics on ℂℙn whose singular set is a hyperplane arrangement and whose cone angles are in (0,2π).
These conditions take the form of linear and quadratic constraints on
the cone angles and are entirely determined by the intersection poset of
the arrangement. Our proof of existence relies on a parabolic version
of the Kobayashi-Hitchin correspondence, due to T. Mochizuki.