ну в такой форме это очевидно не верно, формы на V^k нужно расматривать старшего порядка

На самом деле в любом римановом 3-многообразии площадь минимальной поверхности затягивающей узел не может быть универсально ограничена.

давайте доказывать для евклидова куба стороны 1.
я предъявляю конкретную конструкцию кривой -- как батарею теплые полы укладывают:

заполняем змейкой плоскую грань с расстоянием между соседними прямыми участками примерно 2*r, потом переходим на следущий слой на расстоянии примерно 2*r и так далее, а в конце как-нибудь замыкаем. Пусть N это число прямых сегментов которые мы укладываем в слое, N=1/(2r). теперь посмотрим на трубчатую r-окрестность:

у нас есть прямые цилиндрические участки длины почти 1.
любая затягивающая поверхность должна где-то из этого цилиндра выходить и очевидно что ее кусок внутри цилиндра не может иметь площадь меньще чем площадь плоской поверхности 1*r.

таких прямых непересекающихся участков у нас N^2. то есть площадь любой затягивающей поверхности у нас по меньшей мере 1*r*N^2.
по конструкции N= 1/(2r) то есть нижняя граница на площадь 1/(2r) и стремится к бесконечности с уменьшением r.

теперь в любом римановом многообразии можно выбрать компактный небольшой шар, метрика на котором билипшицево эквивалентна евклидовой, поэтому последовательность поверхностей растущей к бесконечности площади в одной метрике не может быть последовательностью с ограниченной площадью в другой.

https://arxiv.org/abs/1411.5441

Bergman kernel asymptotics and a pure analytic proof of Kodaira embedding theorem
Chin-Yu Hsiao

In this paper, we survey some recent results about the asymptotic expansion of Bergman kernel and we give a Bergman kernel proof of Kodaira embedding theorem.

тут надо требовать не только для всех один-форм на V а для всех внешних форм любой степени

очень нравится почему-то теорема:

топологическое просранство является спектром комутативного кольца [с топологией зарисского] тогда и только тогда оно

1) является T_0 [https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_space]
2) квази-компактное [каждое покрытие открытыми множествами содержит конечное подпокрытие]
3) квази-компактные открытые множества замкнуты относительно конечных пересечений и образуют базу топологии
4) каждое непустое неприводимое замкнутое подмножество имеет общую точку [то есть точку плотную в нем]

кольцо при это восстанавливается не однозначно, их много

https://arxiv.org/abs/1001.3463

Relating diameter and mean curvature for Riemannian submanifolds Jia-Yong Wu, Yu Zheng

Given an m-dimensional closed connected Riemannian manifold M smoothly isometrically immersed in an n-dimensional Riemannian manifold N, we estimate the diameter of M
in terms of its mean curvature field integral under some geometric
restrictions, and therefore generalize a recent work of Topping in the
Euclidean case (Comment. Math. Helv., 83 (2008), 539--546).

надо разобрать это доказательство чтобы посмотреть можно ли что-то сделать для верхней оценки внешнего диаметра проективных гиперповерхнотей, потому что у них средняя кривизна как раз нулевая по неравенству виртингера а площадь степень.

у меня кстати есть еще одна наглая гипотеза, без объяснений

диаметр плоской комплексной кривой ограничен сверху ее гональностью (то есть минимальной возможной листностью разветвленного накрытия CP^1)

https://ocw.mit.edu/courses/18-156-differential-analysis-ii-partial-differential-equations-and-fourier-analysis-spring-2016/pages/syllabus/

Description

In this course, we study elliptic Partial Differential Equations (PDEs) with variable coefficients building up to the minimal surface equation. Then we study Fourier and harmonic analysis, emphasizing applications of Fourier analysis. We will see some applications in combinatorics / number theory, like the Gauss circle problem, but mostly focus on applications in PDE, like the Calderon-Zygmund inequality for the Laplacian, and the Strichartz inequality for the Schrodinger equation. In the last part of the course, we study solutions to the linear and the non-linear Schrodinger equation. All through the course, we work on the craft of proving estimates. For a much more detailed description of the class, please see the course summary.

https://arxiv.org/html/2412.04636v1

кстати отсюда следует что диаметр комплексной гиперповерхности ограничен сверху Cn, где n -- степень
что кажется лучше известных границ
но хуже чем гипотетическая ln n

О, вот вопрос кстати:

Является ли последовательность пространств Каповича-Милсона полигонов (ну для определенности плюс-минус M_0,n, когда все звенья длины один) последовательностью Леви?

напоминаю что там есть естественная симплектическая норма и метрика, то есть симплектическую форму объема нужно отнормировать на 1, ну а метрику для начала чтобы диаметр был единица (он может и так единица? это фактор произведения единичных сфер в конце концов). То есть это последовательность mm-пространств

думаю что это если правда то должно не сложно делаться с помощью концентрации меры для сфер и теоремы талаграна для произведений.

следствия будут прикольные (тут надо подумать, но сходу должно быть так) -- например что самая большая диагональ у большинства узлов (длины 1) будет почти одинаковая и вообще что случайный узел в известной степени должен быть круглым (кстати интересно есть ли какие то результаты про равнораспределенность случайного узла в шаре?)

https://arxiv.org/abs/math/9406212

Concentration of Measure and Isoperimetric Inequalities in Product Spaces Michel Talagrand

The concentration of measure prenomenon roughly states that, if a set A in a product ΩN of probability spaces has measure at least one half, `most'' of the points of ΩN are `close'' to A.
We proceed to a systematic exploration of this phenomenon. The meaning
of the word ``most'' is made rigorous by isoperimetric-type inequalities
that bound the measure of the exceptional sets. The meaning of the work
``close'' is defined in three main ways, each of them giving rise to
related, but different inequalities. The inequalities are all proved
through a common scheme of proof. Remarkably, this simple approach not
only yields qualitatively optimal results, but, in many cases, captures
near optimal numerical constants. A large number of applications are
given, in particular in Percolation, Geometric Probability, Probability
in Banach Spaces, to demonstrate in concrete situations the extremely
wide range of application of the abstract tools.

https://arxiv.org/abs/math-ph/0210033v3

Volumes of Compact Manifolds
Luis J. Boya, E.C.G. Sudarshan, Todd Tilma

We present a systematic calculation of the volumes of compact manifolds which appear in physics: spheres, projective spaces, group manifolds and generalized flag manifolds. In each case we state what we believe is the most natural scale or normalization of the manifold, that is, the generalization of the unit radius condition for spheres. For this aim we first describe the manifold with some parameters, set up a metric, which induces a volume element, and perform the integration for the adequate range of the parameters; in most cases our manifolds will be either spheres or (twisted) products of spheres, or quotients of spheres (homogeneous spaces).
Our results should be useful in several physical instances, as instanton calculations, propagators in curved spaces, sigma models, geometric scattering in homogeneous manifolds, density matrices for entangled states, etc. Some flag manifolds have also appeared recently as exceptional holonomy manifolds; the volumes of compact Einstein manifolds appear in String theory.

https://arxiv.org/abs/2505.14495

Regularity of the volume function
Junyu Cao, Valentino Tosatti

We prove the optimal C1,1 regularity of the volume function on the big cone of a projective manifold, and investigate its regularity when restricted to segments moving in ample directions.

неожиданно злоебучее но важное утверждение кстати [на самом деле -- фундаментальная лемма выпуклого интегрирования Громова]
чисто по выпуклой геометрии:

1) пусть у нас есть открытое подмножество R в R^n и в нем любая точка p. Пусть z -- точка во внутренности выпуклого замыкания R.
Тогда есть непрерывное отображение окружности в R проходящее через p такое что ее центр масс это z. [отобржение может быть например возвратной кривой, типа идем половину времени по кривой а потом возвращаемся по этой же кривой. такие кривые даже лучше для приложений потому что стягиваемые].

2) то же самое но в семействах [для компактного многообразия M и для сечений p и z трив расслоения M\times R^n \to M есть семейство кривых ...]