Ну типа если бы на PSL_2(R) алгебраическая структура бы была, то она была бы в точности неподвижными точками комплексного сопряжения в PSL_2(C), но матрица Diag(i,-i) представляет элемент который инвариантен относительно инволюции и не лежит при этом в
PSL_2(R). Противоречие.

При этом действительно аналитическая структура, как на любой группе Ли, конечно есть.

https://arxiv.org/abs/2506.09609

Schramm-Loewner evolution contains a topological Sierpiński carpet when κ is close to 8
Haoyu Liu, Zijie Zhuang

We consider the Schramm-Loewner evolution (SLEκ) for κ∈(4,8), which is the regime where the curve is self-intersecting but not space-filling. We show that there exists δ0>0 such that for κ∈(8−δ0,8), the range of an SLEκ curve almost surely contains a topological Sierpiński carpet. Combined with a result of Ntalampekos (2021), this implies that in this parameter range, SLEκ is almost surely conformally non-removable, and the conformal welding problem for SLEκ does not have a unique solution. Our result also implies that for κ∈(8−δ0,8), the adjacency graph of the complementary connected components of the SLEκ curve is disconnected.

https://arxiv.org/abs/2506.09486

Definitions of the volume of a big cohomology class
Tiernan Cartwright

We elaborate on how two definitions of the volume of a big cohomology class are consistent. The first definition involves taking the absolutely continuous part of a closed positive current, and the second involves the non-pluripolar product. We also describe how a similar equality holds for the numerical restricted volume introduced by Collins and Tosatti.

Вот в очередной раз убеждаюсь что если в математическом исследовании встречается интеграл который вам удается взять -- то это против бога, даже если получится взять разум только помутнеет от этого. Если встречается сложный интеграл то надо искать тайную структуру (чаще всего она симплектическая) и вычислять с помощью локализации Дюйстермаата-Хекмана.

Так вот, я теперь знаю какие ожидаемые значения диагоналей у случайного полигона (со всеми длинами ребер 1) в R^3.

возьмем правильный n-угольник выберем на нем точку и проведем из нее n-3 диагоналей. теперь мы хотим приписать диагоналям положительные действительные числа так чтобы все неравенства треугольников удовлеторялись (задать полиэдральную метрику если хотите). все такие наборы чисел задают выпуклый политоп в R^+_{n-3}. Координаты его центра масс и есть средние значения диагоналей.

[секретно этот политоп это конечно образ отображения моментов действия тора ассоциированного к триангуляции -- bending flow]

так что похоже что вся эвристика Мирзахани работает для полигонов

кстати вот офигительная теорема о реконструкции Громова-Вершика

mm-пространство это метрическое пространство X с борелевской вероятностной мерой \mu [без атомов]
две эти структура довольно слабо связаны но тем не менее когда они вместе происходит некоторое чудо

классификация вероятностных борелевских мер на польском пространстве [сепарабельном полном] тривиальна -- это просто интервал и
быть может счетное число атомов.
классификация метрических пространств с точностью до изометрии -- совершенно дикая задача.

а для mm-пространств возникает структура:

Теорема
для каждого натурального числа n рассмотрим отображение f: X^n \to Mn
которая набору n точек ставит в соответсвие матрицу попарных расстояний между ними.
обозначим пушфорвард меры произведения как \mu_n

теорема утверждает что мы можем восстановить mm пространство [с точностью до подобающего категории изоморфизма]
по последовательности мер \mu_n

иными словами, если мы независимо случайно выбираем точки по мере \mu то получившаяся вероятностная мера на случайных конечных метрических пространствах определяет mm-пространство.

то есть вот это можно использовать для различения метричесикх пространств например
кидаем точки и смотрим на статистику получающихся конечных метрических пространств

если кидаем одну точку то ничего не видим
если кидаем две начинаем разглядывать размеры -- типа две случайные точки у одного пространства например более отдалены чем у другого
три уже что-то типа кривизны, типа у полусферы сферы более крупные случайные трехточесные пространства должны получаться чаще чем у плоского диска

кажется что очень в духе машинного обучения на самом деле

https://www.math.uchicago.edu/~lawler/brownloop.pdf

A note on the Brownian loop measure
Gregory F. Lawler

Формула Шлефли.

Вообще формула Шлефли это формула связывающая объем многогранника [в пространственной форме] с изменениями двугранных углов и длин ребер, а также ее многомерные обобщения [а также обощение на идеальные многогранники в гиперболическом пространстве]. У нее также есть гладкии реинкарнации, например утверждение, что интеграл средней кривизны постоянен при изометрических изгибаниях поверхности.

Вот интегрально-геометрическое доказательство, принадлежащее А'Кампо [не опубликовано].

Теорема. Пусть у нас есть гладкое семейство полиэдров P_t в трехмерной пространственной форме M [то есть односвязном пространстве кривизны k= -1, 0 или 1]. Тогда имеет место формула для дифференциала объема:

2kd Vol=\sum l_i d\theta_i

где сумма по всем ребрам и l_i -- это длина i-го ребра а \theta_i -- двугранный угол при этом ребре.
---

понятно что достаточно доказать для симплекса потому что правая часть аддитивна при склейке симплексов.

Есть формула Крофтона:

Vol P = \int_{L\inGr} Area(L\cap P) d\mu

где интеграл берется по инвариантной мере на грассманниане гиперплоскостей. то есть мы берем плоскость пересекаем ее с симплексом, считаем площадь пересечения а потом интегрируем по пространству всех плоскостей.

Если кривизна k не равна нулю то по формуле Гаусса-Бонне площадь сечения тетраэдра это дефект треугольника в сечении, то есть \pi - сумма углов треугольника.

то есть дифференцируя под знаком интеграла получаем

dVol(P_t) = \int_{L\inGr} dArea(L\cap P_t) d\mu =
- \int_{L\inGr} d сумма углов(L\cap P_t) d\mu

интеграл угла перечения плоскости с симплексом теперь можно рассмотреть для каждого ребра как двойной, все плоскости проходящие через точку ребра дадут один и тот же интеграл углов пропорциональный двугранному углу [по такому же аргументу как доказывается формула крофтона -- аддитивность и монотонность дает инвариантную меру которая единственна] поэтому вариация объема будет суммой по всем ребрам произведения длины ребра на дифференциал двугранного угла.

ну понятно что для сферы там будет другой знак, величина кривизны будет нормализацию определять а евклидов случай получается предельным переходом -- там формула Шлефли не дает вариации объема а говорит что симплексы образуют изотропное подпространство в симплектическом пространстве C*^6 (это мне рассказал Родион Д). все это дословно переносится на большие размнрности, просто психологически менее комфортно.

Скобки Ли и панк-рок

если x▷y — билинейная операция, введём ассоциатор
a(x,y,z) := x▷(y▷z) - (x▷y)▷z.

Руководствуясь геометрическими (Винберг'62) или деформационными (Gerstenhaber'63) соображениями, можно придумать такую аксиому:
Алгеброй Винберга—Кошуля (Koszul—Vinberg algebra), или пред-алгеброй Ли (pre-Lie algebra), называется векторное пространство A вместе с билинейной операцией ▷ такой, что
a(x,y,z) = a(y,z,x).

Позднее их переоткрыли (Аграчёв, Гамкрелидзе '80) под названием "хронологическая алгебра".

Ещё позже было придумано вот такое понятие (Vallette'04), из чисто операдных соображений (это алгебры над операдой, двойственной по Кошулю к коммутативным триалгебрам):
Пост-алгеброй Ли (post-Lie algebra) называется алгебра Ли L вместе с билинейной операцией ▷ такая, что
x▷[y,z] = [x▷y, z] + [y, x▷z],
[x,y]▷z = a(x,y,z) - a(y,x,z).

То есть: a pre-Lie algebra is a post-Lie algebra whose underlying Lie algebra is abelian. А в жизни всё наоборот: пост-панк — это прото-панк с тривиальной панк-составляющей.)
——————————-
А как такое может возникнуть в нормальной математике?

Если M — гладкое многообразие, ∇ — аффинная связность на нём, то можно рассмотреть пространство
L := Vect(M)
и бинарную операцию
X▷Y := ∇_X (Y).

Коммутатор векторных полей обозначим через [[X,Y]]. Тогда тензор кручения связности — это
T(X,Y):=X▷Y-Y▷X-[[X,Y]],
а тензор кривизны Римана — это
R(X,Y)Z = a(X,Y,Z)-a(Y,X,Z)+T(X,Y)▷Z.

Если R=T=0, то получается алгебра Кошуля—Винберга. Если R=0 и ∇T=0, то получается пост-алгебра Ли относительно скобки Ли [x,y] := -T(x,y). Из-за тождеств Бьянки. Ссылка: https://arxiv.org/abs/1203.4738

(Обратно: на всякой пост-алгебре Ли есть ещё одна скобка Ли [[x,y]]:=x▷y-y▷x+[x,y].)
————————
И вообще пишут: Meanwhile, it was found that post-Lie algebras play an essential role in regularity structures in stochastic analysis [9,10,25]. Recently, post-Lie algebras have been studied from different points of view including constructions of nonabelian generalized Lax pairs, PBW type theorems, factorization theorems and relations to post-Lie groups.

доказательство кстати очень простое (принадлежит Вершику)

то есть напомню у нас есть отображение из счетного произведения мм-пространства в бесконечный выпуклый конус M матриц расстояний. нужно выбрать точку m\in M прообраз которой это плотные (тут нужна непрерывность меры) равнораспределенные последовательности точек соответсвенно X и X'. по конструкции они изометричны -- доопределим изометрию по полноте до изометрии между X и X'. так как последовательности равнораспределены по соотвествующим мерам то эта изометрия сохраняет также меру. для этого нужно использовать закон больших чисел, или эргодичность сдвига Бернулли, если хотите.

https://arxiv.org/abs/1001.5140v1

Moore's theorem
Vladlen Timorin

For a closed equivalence relation on the 2-sphere such that all equivalence classes are connected and non-separating, and not all points are equivalent, the quotient space is homeomorphic to the 2-sphere

решил посмотреть какой из Муров это
https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Lee_Moore

оказался что этот, среди прочего он прославился тем что был большим расистом