Как много от комплексного многообразия можно восстановить по "тропическому кольцу" плурисубгармонических функций (то есть как векторного пространства с операцией взятия максимума)?
👍3
Forwarded from tropical saint petersburg
просто классная картинка из журнала "историко-математические исследования". Что тут изображено, я не понимаю.
Zenzeli
Как много от комплексного многообразия можно восстановить по "тропическому кольцу" плурисубгармонических функций (то есть как векторного пространства с операцией взятия максимума)?
Это причём довольно интересная бóльшая структура, типа максимум это операция бесконечного суммирования, так как супремум любого множества ПСГ функций снова ПСГ, если считать тождественную бесконечность псг функцией.
Насколько понимаю в математике в принципе изучают алгебраические структуры с такими операциям, например контрамодули:
Это (в самой наивной формулировке) абелева группа с операцией бесконечного суммирования которые аддитивны, контраассоциативны и также мы хотим чтобы бесконечная сумма элемента с остальными всеми нулями равнялась этому элементу. Я посмотрел аксиомы
и конус положительных ПСГ можно считать "полугруппой со структурой контрамодуля" (видимо очень тривиального). Ну или все ПСГ функций с нулем -\infty.
Насколько понимаю в математике в принципе изучают алгебраические структуры с такими операциям, например контрамодули:
Это (в самой наивной формулировке) абелева группа с операцией бесконечного суммирования которые аддитивны, контраассоциативны и также мы хотим чтобы бесконечная сумма элемента с остальными всеми нулями равнялась этому элементу. Я посмотрел аксиомы
и конус положительных ПСГ можно считать "полугруппой со структурой контрамодуля" (видимо очень тривиального). Ну или все ПСГ функций с нулем -\infty.
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://arxiv.org/abs/1912.05740
Boris Khesin, Serge Tabachnikov. Fun Problems in Geometry and Beyond
«We discuss fun problems, vaguely related to notions and theorems of a course in differential geometry. This paper can be regarded as a weekend "treasure chest" supplementing the course weekday lecture notes. The problems and solutions are not original, while their relation to the course might be so.»
Boris Khesin, Serge Tabachnikov. Fun Problems in Geometry and Beyond
«We discuss fun problems, vaguely related to notions and theorems of a course in differential geometry. This paper can be regarded as a weekend "treasure chest" supplementing the course weekday lecture notes. The problems and solutions are not original, while their relation to the course might be so.»
милая задачка
пусть у вас есть n красных игральных костей с n сторонами пронумированных от 1 до n
и столько же синих
мы их все кидаем
доказать что можно найти подмножество красных и подмножество синих у которых одинаковая сумма
имеет отношение кстати к тому факту что диаметр n-листного накрытия метрического пространства N
не превышает nDiam(N) [увидел на матоверфлоу]
пусть у вас есть n красных игральных костей с n сторонами пронумированных от 1 до n
и столько же синих
мы их все кидаем
доказать что можно найти подмножество красных и подмножество синих у которых одинаковая сумма
имеет отношение кстати к тому факту что диаметр n-листного накрытия метрического пространства N
не превышает nDiam(N) [увидел на матоверфлоу]
❤1
https://arxiv.org/abs/1608.06848v1
Combinatorics of the Lipschitz polytope
J. Gordon, F. Petrov
Let ρ be a metric on the set X={1,2,…,n+1}. Consider the n-dimensional polytope of functions f:X→ℝ, which satisfy the conditions f(n+1)=0, |f(x)−f(y)|≤ρ(x,y). The question on classifying metrics depending on the combinatorics of this polytope have been recently posed by A. M. Vershik \cite{V}. We prove that for any "generic" metric the number of (n−m)-dimensional faces, 0≤m≤n, equals (n+mm,m,n−m)=(n+m)!/m!m!(n−m)!. This fact is intimately related to regular triangulations of the root polytope (the convex hull of the roots of An root system). Also we get two-sided estimates for the logarithm of the number of Vershik classes of metrics: n3logn from above and n2 from below.
Combinatorics of the Lipschitz polytope
J. Gordon, F. Petrov
Let ρ be a metric on the set X={1,2,…,n+1}. Consider the n-dimensional polytope of functions f:X→ℝ, which satisfy the conditions f(n+1)=0, |f(x)−f(y)|≤ρ(x,y). The question on classifying metrics depending on the combinatorics of this polytope have been recently posed by A. M. Vershik \cite{V}. We prove that for any "generic" metric the number of (n−m)-dimensional faces, 0≤m≤n, equals (n+mm,m,n−m)=(n+m)!/m!m!(n−m)!. This fact is intimately related to regular triangulations of the root polytope (the convex hull of the roots of An root system). Also we get two-sided estimates for the logarithm of the number of Vershik classes of metrics: n3logn from above and n2 from below.
arXiv.org
Combinatorics of the Lipschitz polytope
Let $ρ$ be a metric on the set $X=\{1,2,\dots,n+1\}$. Consider the $n$-dimensional polytope of functions $f:X\rightarrow \mathbb{R}$, which satisfy the conditions $f(n+1)=0$, $|f(x)-f(y)|\leq...
❤1
хорошие лекции по решеточным политопам чтобы не забыть
https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~paffenholz/daten/preprints/20210628_Lattice_Polytopes.pdf
https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~paffenholz/daten/preprints/20210628_Lattice_Polytopes.pdf
🕊1
Теорема Киршбрауна:
как продолжить C-липшицеву функцию f с подмножества U\subset R^n на все R^n как C-липшицеву функцию?
ответ: F(x):= inf_{u\in U} (f(u) + C dist(u,x))
как продолжить C-липшицеву функцию f с подмножества U\subset R^n на все R^n как C-липшицеву функцию?
ответ: F(x):= inf_{u\in U} (f(u) + C dist(u,x))
Zenzeli
Теорема Киршбрауна: как продолжить C-липшицеву функцию f с подмножества U\subset R^n на все R^n как C-липшицеву функцию? ответ: F(x):= inf_{u\in U} (f(u) + C dist(u,x))
[кажется этого достаточно или почти чтобы получить центральную предельную теорему для пространственных полигонов]
ну вот еще в порядке бреда. благодаря теореме минковского о том что любой выпуклый политоп можно восстановить по направленям его сторон и их площадям, и наоборот любой набор направлений и площадей, удовлетворяющий очевидном линейному условию, дает политоп -- мы можем отождествить пространство полигонов Каповича-Миллсона с предписанными длинами сторон с пространством политопов с предписанными площадями граней. ну можно начать увеличивать число граней а площади считать все единичными. ну нужно каждый раз отнормировать на единичный объем политоп. так вот если ЦПТ имеет место то при числе граней стремящемуся к бесконечности по идее должна быть какая-то предельная форма. ну а что этом может быть кроме сферы?
👍1
https://arxiv.org/abs/2506.06781v2
Morse theory and moduli spaces of self-avoiding polygonal linkages
Te Ba, Ze Zhou
We prove that a smooth d-manifold M is diffeomorphic to ℝd if it admits a Lyapunov-Reeb function, i.e., a smooth map f:M→ℝ that is proper, lower-bounded, and has a unique critical point. By constructing such functions, we deduce that the moduli spaces of self-avoiding polygonal linkages and configurations are diffeomorphic to Euclidean spaces. This resolves the Refined Carpenter's Rule Problem and confirms a conjecture proposed by González and Sedano-Mendoza. We further describe foliation structures of these moduli spaces via level sets of Lyapunov-Reeb functions and develop algorithms for related problems.
Morse theory and moduli spaces of self-avoiding polygonal linkages
Te Ba, Ze Zhou
We prove that a smooth d-manifold M is diffeomorphic to ℝd if it admits a Lyapunov-Reeb function, i.e., a smooth map f:M→ℝ that is proper, lower-bounded, and has a unique critical point. By constructing such functions, we deduce that the moduli spaces of self-avoiding polygonal linkages and configurations are diffeomorphic to Euclidean spaces. This resolves the Refined Carpenter's Rule Problem and confirms a conjecture proposed by González and Sedano-Mendoza. We further describe foliation structures of these moduli spaces via level sets of Lyapunov-Reeb functions and develop algorithms for related problems.
arXiv.org
Morse theory and moduli spaces of self-avoiding polygonal linkages
We prove that a smooth $d$-manifold $M$ is diffeomorphic to $\mathbb R^d$ if it admits a Lyapunov-Reeb function, i.e., a smooth map $f:M\to\mathbb R$ that is proper, lower-bounded, and has a...
Forwarded from vylegf
Время от времени возвращаюсь к тщеславной идее: хотелось бы, чтобы в перечислительной комбинаторике пригодились наши знания о теории гомотопий (пространств петель) торических штуковин.
Например, мы знаем что флаговой триангуляции сферы иногда соответствует гладкое проективное торическое многообразие X, тогда:
- X односвязно, формально и коформально
- Пространство петель на X — это тор, умноженный на пространства петель на сферах (как водится, в бесконечном количестве).
[ещё X кэлерово, т.е. есть Лефшец и Ходж-Риман — но это уже дикий баян, g-теорема Стэнли, потом g-теорема Адипрасито — там наверно уже выжженная земля]
Натаскать это хочется на гипотезу Черни-Дэвиса и её усиления (гипотеза Гала, гипотеза Нево-Петерсена или какие там ещё есть: что гамма-вектор флаговой триангуляции сферы является f-вектором сбалансированного и/или флагового комплекса, ну или хотя бы неотрицателен). Из алгебро-геометрических продвижений в этом направлении помню только статью про signature of a toric variety
https://arxiv.org/abs/math/0111064
которую позже переписали на комбинаторном языке,
https://arxiv.org/abs/2304.03252
Так что иногда возвращаюсь к вопросу в духе: "а какие условия накладываются этим всем на алгебру Понтрягина? или не всем, а хотя бы коформальностью? или, скажем, коформальностью+двойственностью Пуанкаре?"
Формальность+коформальность даёт пару кошулево двойственных алгебр: когомологии и гомологии петель.Кошулево двойственная к кошулевой алгебре Пуанкаре — кажется, называется "кошулева горенштейнова" или типа того, см.
Poincaré duality for Koszul algebras
Michel Dubois-Violette
https://arxiv.org/abs/1205.0356
P.S. Наврал, горенштейновость это двойственность Пуанкаре на Ext_A(k,A), а не на Ext_A(k,k). (И она даёт двойственность Пуанкаре в предположениях конечномерности, а не всегда)
Вроде статья ниже даёт контрпример к одной из таких усиленных гипотез: там строится алгебра, у которой одно из гамма-чисел отрицательно.Надо бы её когда-нибудь прочитать. Более того: гипотеза была, что все гамма-числа неотрицательны, а тут они даже знакочередующиеся. Это основано на следующем чисто алгебраическом факте:
если h_i(A) = f_{i-1}(B) + f_{d-i}(B), то (при i>1) верно:
(-1)^{i-1}gamma_i(A) — это линейная комбинация
h_{2i-1}(B),...,h_d(B) с явными положительными коэффициентами.
Koszul Gorenstein algebras from Cohen-Macaulay simplicial complexes
Alessio D'Alì, Lorenzo Venturello
https://arxiv.org/abs/2106.05051
Например, мы знаем что флаговой триангуляции сферы иногда соответствует гладкое проективное торическое многообразие X, тогда:
- X односвязно, формально и коформально
- Пространство петель на X — это тор, умноженный на пространства петель на сферах (как водится, в бесконечном количестве).
Натаскать это хочется на гипотезу Черни-Дэвиса и её усиления (гипотеза Гала, гипотеза Нево-Петерсена или какие там ещё есть: что гамма-вектор флаговой триангуляции сферы является f-вектором сбалансированного и/или флагового комплекса, ну или хотя бы неотрицателен). Из алгебро-геометрических продвижений в этом направлении помню только статью про signature of a toric variety
https://arxiv.org/abs/math/0111064
которую позже переписали на комбинаторном языке,
https://arxiv.org/abs/2304.03252
Так что иногда возвращаюсь к вопросу в духе: "а какие условия накладываются этим всем на алгебру Понтрягина? или не всем, а хотя бы коформальностью? или, скажем, коформальностью+двойственностью Пуанкаре?"
Формальность+коформальность даёт пару кошулево двойственных алгебр: когомологии и гомологии петель.
Poincaré duality for Koszul algebras
Michel Dubois-Violette
https://arxiv.org/abs/1205.0356
P.S. Наврал, горенштейновость это двойственность Пуанкаре на Ext_A(k,A), а не на Ext_A(k,k). (И она даёт двойственность Пуанкаре в предположениях конечномерности, а не всегда)
Вроде статья ниже даёт контрпример к одной из таких усиленных гипотез: там строится алгебра, у которой одно из гамма-чисел отрицательно.
если h_i(A) = f_{i-1}(B) + f_{d-i}(B), то (при i>1) верно:
(-1)^{i-1}gamma_i(A) — это линейная комбинация
h_{2i-1}(B),...,h_d(B) с явными положительными коэффициентами.
Koszul Gorenstein algebras from Cohen-Macaulay simplicial complexes
Alessio D'Alì, Lorenzo Venturello
https://arxiv.org/abs/2106.05051
❤2👍1
https://gilkalai.wordpress.com/2019/07/09/imre-barany-limit-shape/
офигенно кстати типичный выпуклый полигон решеточный при измельчении решетки выглядит вот так
офигенно кстати типичный выпуклый полигон решеточный при измельчении решетки выглядит вот так
🔥1😢1
Forwarded from tropical saint petersburg
Примерно лет 10 потратилось на то, чтобы понять, почему вычет в 2/3 у функции F_G(s), которая считает сумму s-ых степеней площадей треугольничков, пропорционален аффинной длине кривой. Хотя в самом доказательстве единственное, что не сразу понятно — это решение некоторого функционального уравнения. Я всё равно очень доволен тем, что многолетний гештальт закрылся.
https://arxiv.org/abs/2507.00973
Boundedness of some fibered K-trivial varieties
Philip Engel, Stefano Filipazzi, François Greer, Mirko Mauri, Roberto Svaldi
We prove that irreducible Calabi-Yau varieties of a fixed dimension, admitting a fibration by abelian varieties or primitive symplectic varieties of a fixed analytic deformation class, are birationally bounded. We prove that there are only finitely many deformation classes of primitive symplectic varieties of a fixed dimension, admitting a Lagrangian fibration. We also show that fibered Calabi-Yau 3-folds are bounded. Conditional on the generalized abundance or hyperkähler SYZ conjecture, our results prove that there are only finitely many deformation classes of hyperkähler varieties, of a fixed dimension, with b2≥5
Boundedness of some fibered K-trivial varieties
Philip Engel, Stefano Filipazzi, François Greer, Mirko Mauri, Roberto Svaldi
We prove that irreducible Calabi-Yau varieties of a fixed dimension, admitting a fibration by abelian varieties or primitive symplectic varieties of a fixed analytic deformation class, are birationally bounded. We prove that there are only finitely many deformation classes of primitive symplectic varieties of a fixed dimension, admitting a Lagrangian fibration. We also show that fibered Calabi-Yau 3-folds are bounded. Conditional on the generalized abundance or hyperkähler SYZ conjecture, our results prove that there are only finitely many deformation classes of hyperkähler varieties, of a fixed dimension, with b2≥5
arXiv.org
Boundedness of some fibered K-trivial varieties
We prove that irreducible Calabi-Yau varieties of a fixed dimension, admitting a fibration by abelian varieties or primitive symplectic varieties of a fixed analytic deformation class, are...
кстати вот считать матожидания разных случайных величин на пространствах модулей можно делать для пространств модулей плоских поверхностей, тот же диаметр или радиус инъективности.
и оказывается Мазур с Рафи и Сандекер уже кое что сделали
забавно что результаты Мирзахани так имеют место но немного с другими асимптотиками
https://math.uchicago.edu/~masur/shape.pdf
The shape of a generic translation surface
https://arxiv.org/abs/1809.10769
Expected covering radius of a translation surface
очень интересно
и оказывается Мазур с Рафи и Сандекер уже кое что сделали
забавно что результаты Мирзахани так имеют место но немного с другими асимптотиками
https://math.uchicago.edu/~masur/shape.pdf
The shape of a generic translation surface
https://arxiv.org/abs/1809.10769
Expected covering radius of a translation surface
очень интересно
Zenzeli
кстати вот считать матожидания разных случайных величин на пространствах модулей можно делать для пространств модулей плоских поверхностей, тот же диаметр или радиус инъективности. и оказывается Мазур с Рафи и Сандекер уже кое что сделали забавно что результаты…
YouTube
What does your average translation surface look like?, part 1/2 (Anja Randecker)
First part of Anja Randecker's talk at the NCNGT (http://ncngt.org/)
Talk title: How does your average translation surface look like?
This talk is based on joint work with Howard Masur and Kasra Rafi, available at arxiv (https://arxiv.org/abs/1809.10769).
Talk title: How does your average translation surface look like?
This talk is based on joint work with Howard Masur and Kasra Rafi, available at arxiv (https://arxiv.org/abs/1809.10769).
HOW TO USE THE CYCLE SPACE IN COMPLEX GEOMETRY
https://library.slmath.org/books/Book37/files/barlet.pdf
https://library.slmath.org/books/Book37/files/barlet.pdf
вот кстати проблема [открытая]
дана выпуклая фигура на плоскости, найти минимальную длину подмножества фигуры проекция которого в любом направление такое
же как у фигуры. ну то есть найти граф внутри который отбрасывает такую же тень откуда на смотри.
для квадрата это >-<, но вообще он не обязан быть даже связным. для каких-то еще простых фигур тоже известно.
дана выпуклая фигура на плоскости, найти минимальную длину подмножества фигуры проекция которого в любом направление такое
же как у фигуры. ну то есть найти граф внутри который отбрасывает такую же тень откуда на смотри.
для квадрата это >-<, но вообще он не обязан быть даже связным. для каких-то еще простых фигур тоже известно.
Задача, чтобы не забыть подумать:
Если M_n пространство полигонов с какими-то длинами сторон, то оно вкладывается в пространство полигонов M_{n+1}
где какое-то ребро подразбито на два. Вопрос для такой системы имеется ли гомологическая стабильность,
то есть для любого k есть номер N такой что все вложения начиная с номера N индуцируют изоморфизм на k-ых гомологиях.
Пространства полигонов это комплексные 2-грассманнианы в С^n отфакторизоанные по n-тору [действие зависит от длин сторон] [Гельфанд-Цетлин, Кнутсон-Хаусман]
поэтому должно быть не сложно если правда
Если M_n пространство полигонов с какими-то длинами сторон, то оно вкладывается в пространство полигонов M_{n+1}
где какое-то ребро подразбито на два. Вопрос для такой системы имеется ли гомологическая стабильность,
то есть для любого k есть номер N такой что все вложения начиная с номера N индуцируют изоморфизм на k-ых гомологиях.
Пространства полигонов это комплексные 2-грассманнианы в С^n отфакторизоанные по n-тору [действие зависит от длин сторон] [Гельфанд-Цетлин, Кнутсон-Хаусман]
поэтому должно быть не сложно если правда
👍1