https://arxiv.org/abs/1608.06848v1

Combinatorics of the Lipschitz polytope
J. Gordon, F. Petrov

Let ρ be a metric on the set X={1,2,…,n+1}. Consider the n-dimensional polytope of functions f:X→ℝ, which satisfy the conditions f(n+1)=0, |f(x)−f(y)|≤ρ(x,y). The question on classifying metrics depending on the combinatorics of this polytope have been recently posed by A. M. Vershik \cite{V}. We prove that for any "generic" metric the number of (n−m)-dimensional faces, 0≤m≤n, equals (n+mm,m,n−m)=(n+m)!/m!m!(n−m)!. This fact is intimately related to regular triangulations of the root polytope (the convex hull of the roots of An root system). Also we get two-sided estimates for the logarithm of the number of Vershik classes of metrics: n3logn from above and n2 from below.

хорошие лекции по решеточным политопам чтобы не забыть
https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~paffenholz/daten/preprints/20210628_Lattice_Polytopes.pdf

Теорема Киршбрауна:

как продолжить C-липшицеву функцию f с подмножества U\subset R^n на все R^n как C-липшицеву функцию?

ответ: F(x):= inf_{u\in U} (f(u) + C dist(u,x))

[кажется этого достаточно или почти чтобы получить центральную предельную теорему для пространственных полигонов]

ну вот еще в порядке бреда. благодаря теореме минковского о том что любой выпуклый политоп можно восстановить по направленям его сторон и их площадям, и наоборот любой набор направлений и площадей, удовлетворяющий очевидном линейному условию, дает политоп -- мы можем отождествить пространство полигонов Каповича-Миллсона с предписанными длинами сторон с пространством политопов с предписанными площадями граней. ну можно начать увеличивать число граней а площади считать все единичными. ну нужно каждый раз отнормировать на единичный объем политоп. так вот если ЦПТ имеет место то при числе граней стремящемуся к бесконечности по идее должна быть какая-то предельная форма. ну а что этом может быть кроме сферы?

https://arxiv.org/abs/2506.06781v2

Morse theory and moduli spaces of self-avoiding polygonal linkages
Te Ba, Ze Zhou

We prove that a smooth d-manifold M is diffeomorphic to ℝd if it admits a Lyapunov-Reeb function, i.e., a smooth map f:M→ℝ that is proper, lower-bounded, and has a unique critical point. By constructing such functions, we deduce that the moduli spaces of self-avoiding polygonal linkages and configurations are diffeomorphic to Euclidean spaces. This resolves the Refined Carpenter's Rule Problem and confirms a conjecture proposed by González and Sedano-Mendoza. We further describe foliation structures of these moduli spaces via level sets of Lyapunov-Reeb functions and develop algorithms for related problems.

Время от времени возвращаюсь к тщеславной идее: хотелось бы, чтобы в перечислительной комбинаторике пригодились наши знания о теории гомотопий (пространств петель) торических штуковин.

Например, мы знаем что флаговой триангуляции сферы иногда соответствует гладкое проективное торическое многообразие X, тогда:
- X односвязно, формально и коформально
- Пространство петель на X — это тор, умноженный на пространства петель на сферах (как водится, в бесконечном количестве).
[ещё X кэлерово, т.е. есть Лефшец и Ходж-Риман — но это уже дикий баян, g-теорема Стэнли, потом g-теорема Адипрасито — там наверно уже выжженная земля]

Натаскать это хочется на гипотезу Черни-Дэвиса и её усиления (гипотеза Гала, гипотеза Нево-Петерсена или какие там ещё есть: что гамма-вектор флаговой триангуляции сферы является f-вектором сбалансированного и/или флагового комплекса, ну или хотя бы неотрицателен). Из алгебро-геометрических продвижений в этом направлении помню только статью про signature of a toric variety
https://arxiv.org/abs/math/0111064
которую позже переписали на комбинаторном языке,
https://arxiv.org/abs/2304.03252

Так что иногда возвращаюсь к вопросу в духе: "а какие условия накладываются этим всем на алгебру Понтрягина? или не всем, а хотя бы коформальностью? или, скажем, коформальностью+двойственностью Пуанкаре?"

Формальность+коформальность даёт пару кошулево двойственных алгебр: когомологии и гомологии петель. Кошулево двойственная к кошулевой алгебре Пуанкаре — кажется, называется "кошулева горенштейнова" или типа того, см.
Poincaré duality for Koszul algebras
Michel Dubois-Violette
https://arxiv.org/abs/1205.0356
P.S. Наврал, горенштейновость это двойственность Пуанкаре на Ext_A(k,A), а не на Ext_A(k,k). (И она даёт двойственность Пуанкаре в предположениях конечномерности, а не всегда)

Вроде статья ниже даёт контрпример к одной из таких усиленных гипотез: там строится алгебра, у которой одно из гамма-чисел отрицательно. Надо бы её когда-нибудь прочитать. Более того: гипотеза была, что все гамма-числа неотрицательны, а тут они даже знакочередующиеся. Это основано на следующем чисто алгебраическом факте:

если h_i(A) = f_{i-1}(B) + f_{d-i}(B), то (при i>1) верно:
(-1)^{i-1}gamma_i(A) — это линейная комбинация
h_{2i-1}(B),...,h_d(B) с явными положительными коэффициентами.

Koszul Gorenstein algebras from Cohen-Macaulay simplicial complexes
Alessio D'Alì, Lorenzo Venturello
https://arxiv.org/abs/2106.05051

https://gilkalai.wordpress.com/2019/07/09/imre-barany-limit-shape/

офигенно кстати типичный выпуклый полигон решеточный при измельчении решетки выглядит вот так

Примерно лет 10 потратилось на то, чтобы понять, почему вычет в 2/3 у функции F_G(s), которая считает сумму s-ых степеней площадей треугольничков, пропорционален аффинной длине кривой. Хотя в самом доказательстве единственное, что не сразу понятно — это решение некоторого функционального уравнения. Я всё равно очень доволен тем, что многолетний гештальт закрылся.

https://arxiv.org/abs/2507.00973

Boundedness of some fibered K-trivial varieties
Philip Engel, Stefano Filipazzi, François Greer, Mirko Mauri, Roberto Svaldi

We prove that irreducible Calabi-Yau varieties of a fixed dimension, admitting a fibration by abelian varieties or primitive symplectic varieties of a fixed analytic deformation class, are birationally bounded. We prove that there are only finitely many deformation classes of primitive symplectic varieties of a fixed dimension, admitting a Lagrangian fibration. We also show that fibered Calabi-Yau 3-folds are bounded. Conditional on the generalized abundance or hyperkähler SYZ conjecture, our results prove that there are only finitely many deformation classes of hyperkähler varieties, of a fixed dimension, with b2≥5

кстати вот считать матожидания разных случайных величин на пространствах модулей можно делать для пространств модулей плоских поверхностей, тот же диаметр или радиус инъективности.

и оказывается Мазур с Рафи и Сандекер уже кое что сделали

забавно что результаты Мирзахани так имеют место но немного с другими асимптотиками

https://math.uchicago.edu/~masur/shape.pdf
The shape of a generic translation surface

https://arxiv.org/abs/1809.10769
Expected covering radius of a translation surface

очень интересно

HOW TO USE THE CYCLE SPACE IN COMPLEX GEOMETRY

https://library.slmath.org/books/Book37/files/barlet.pdf

вот кстати проблема [открытая]

дана выпуклая фигура на плоскости, найти минимальную длину подмножества фигуры проекция которого в любом направление такое
же как у фигуры. ну то есть найти граф внутри который отбрасывает такую же тень откуда на смотри.

для квадрата это >-<, но вообще он не обязан быть даже связным. для каких-то еще простых фигур тоже известно.

Задача, чтобы не забыть подумать:

Если M_n пространство полигонов с какими-то длинами сторон, то оно вкладывается в пространство полигонов M_{n+1}
где какое-то ребро подразбито на два. Вопрос для такой системы имеется ли гомологическая стабильность,
то есть для любого k есть номер N такой что все вложения начиная с номера N индуцируют изоморфизм на k-ых гомологиях.

Пространства полигонов это комплексные 2-грассманнианы в С^n отфакторизоанные по n-тору [действие зависит от длин сторон] [Гельфанд-Цетлин, Кнутсон-Хаусман]
поэтому должно быть не сложно если правда

Вы может быть не знаете, но Кочер Биркар (великий ученый, филдсовский лауреат, и кстати мой соавтор) выложил вчера два препринта про ограниченность базы эллиптических расслоений на трифолдах Калаби-Яу. Один написан для математиков, второй — для физиков (ну и для математиков).

Восхищает меня больше второй — на него и ссылка. Он написан одновременно на двух языках — теории струн и бирациональной геометрии. То есть буквально на одной странице встречаются неабелевы калибровочные группы и определение модульного дивизора (которое мы, к слову, проходили на курсе по ограниченности многообразий Фано).

Небольшой ликбез. В струнах есть очень красивый кусок — F-теория, в рамках которой можно строить grand unified theories из подручных средств в терминах эллиптически расслоенных многообразий КЯ. При этом возникает симпатичный словарь: поля живут на дивизоре вырождения (для физиков это мировой объем 7-браны), типы которых классифицированы Кодаирой — вот тут я об этом уже писал. Локальная калибровочная группа имеет такую же алгебру Ли, как предсказывает тип особенности. Массы генерируются на слоях над collision points — точками самопересечения дивизора вырождения, высшие взаимодействия — над тройными точками, и так далее. Любопытно, что даже продвинутые вещи типа группы Шафаревича-Тейта в рамках F-теории получают физическую интерпретацию.

Насколько я понимаю, целью Кочера сейчас является доказать ограниченность для многообразий Калаби-Яу в принципе. По идее эта задача должна быть настолько сложнее гипотезы Борисова-Алексеева-Борисова (которую Биркар и доказал) об ограниченности многообразий Фано, насколько вообще изучение геометрии Калаби-Яу сложнее геометрии Фано. То есть насколько изучение геометрии К3 поверхностей сложнее геометрии поверхостей дель Пеццо (сильно сложнее!).

На физическом языке эта задача называется проблемой ландшафта, но тут я уже устал объяснять, о таком много пишут в научно-популярной литературе. Зная Кочера, нельзя исключать, что эта задача тоже будет решена в ближайшие годы. В препринте по ссылке он ограничивает ранг Пикара базы эллиптически расслоенного КЯ-трифолда числом 566 в случае, когда база является раздутием поверхности Хирцебруха (и у этого тоже есть физический смысл).

Продолжаем следить за развитием событий.

https://arxiv.org/abs/1910.14116

On the boundaries of highly connected, almost closed manifolds
Robert Burklund, Jeremy Hahn, Andrew Senger

Building on work of Stolz, we prove for integers 0≤d≤3 and k>232 that the boundaries of (k−1)-connected, almost closed (2k+d)-manifolds also bound parallelizable manifolds. Away from finitely many dimensions, this settles longstanding questions of C.T.C. Wall, determines all Stein fillable homotopy spheres, and proves a conjecture of Galatius and Randal-Williams. Implications are drawn for both the classification of highly connected manifolds and, via work of Kreck and Krannich, the calculation of their mapping class groups.
Our technique is to recast the Galatius and Randal-Williams conjecture in terms of the vanishing of a certain Toda bracket, and then to analyze this Toda bracket by bounding its H𝔽p-Adams filtrations for all primes p. We additionally prove new vanishing lines in the H𝔽p-Adams spectral sequences of spheres and Moore spectra, which are likely to be of independent interest. Several of these vanishing lines rely on an Appendix by Robert Burklund, which answers a question of Mathew about vanishing curves in BP⟨n⟩-based Adams spectral sequences.

On the application of large deviation estimates to local solubility in families of varieties
Sun Woo Park, Efthymios Sofos

We apply the Gärtner--Ellis theorem on large deviations to prove a weak version of the Loughran--Smeets conjecture for general fibrations.

https://arxiv.org/abs/2507.08173