Сегодня нас ждет очередное путешествие во времени. Представим, что перед нами Кёнигсберг начала 18 века. Среди жителей города распространена загадка: как пройти по всем городским мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды?
Попробуем вместе с Леонардом Эйлером и кайзером Вильгельмом I решить её!
Начнем с решения императора, конечно. Считается, что Вильгельм I был достаточно прямым и простым человеком, обладал солдатской «недалёкостью». Однажды кайзеру показали карту города и предложили решить знаменитую задачку. Всего полторы минуты потребовалось императору для решения задачи. Итогом стала одна фраза: «Приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Говорят, что именно по этой причине и появился новый мост через реку, который так и назвали — мост Кайзера. К сожалению, у нас нет возможности побывать на этом мосту: в ходе Второй Мировой войны он был разрушен.
Вернемся же к Леонарду Эйлеру: в 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Маринони. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. В случае с рекой Преголя ответ был: «нельзя».
Давайте попробуем вместе разобраться, что это за правило и как оно должно работать. Для этого нам будет удобно обозначить каждую часть суши вершиной графа (точкой), а каждый мост – ребром графа (линией), соединяющей соответствующие точки. Переформулируем задачу: нам нужно обойти граф, пройдя по каждому ребру один и только один раз.
Начнём с простой идеи: если мы по какому-то ребру пришли в вершину (и эта вершина не является последней в нашем пути), то из нее нам придется выйти («вошли и вышли, приключение на 20 минут»). А значит, что количество ребер, сходящихся в вершине, не являющейся начальной и конечной, чётно. Какие вершины могут обладать нечётным количеством сходящихся в них ребёр? Только стартовая и финальная (смотрите сами: вышли-вошли-вышли для начала и вошли-вышли-вошли для конца пути, повторить столько раз, сколько нужно). Итак, сформулируем несколько важных предложений:
• Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
• Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
• Если ровно две вершины графа нечётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой из нечётных вершин и завершить его в другой нечетной вершине.
• Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Если посмотрим на схему кёнигсбергских мостов, то заметим четыре нечётные вершины (на самом деле, это вообще все вершины) — следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
#love_графы
Попробуем вместе с Леонардом Эйлером и кайзером Вильгельмом I решить её!
Начнем с решения императора, конечно. Считается, что Вильгельм I был достаточно прямым и простым человеком, обладал солдатской «недалёкостью». Однажды кайзеру показали карту города и предложили решить знаменитую задачку. Всего полторы минуты потребовалось императору для решения задачи. Итогом стала одна фраза: «Приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Говорят, что именно по этой причине и появился новый мост через реку, который так и назвали — мост Кайзера. К сожалению, у нас нет возможности побывать на этом мосту: в ходе Второй Мировой войны он был разрушен.
Вернемся же к Леонарду Эйлеру: в 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Маринони. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. В случае с рекой Преголя ответ был: «нельзя».
Давайте попробуем вместе разобраться, что это за правило и как оно должно работать. Для этого нам будет удобно обозначить каждую часть суши вершиной графа (точкой), а каждый мост – ребром графа (линией), соединяющей соответствующие точки. Переформулируем задачу: нам нужно обойти граф, пройдя по каждому ребру один и только один раз.
Начнём с простой идеи: если мы по какому-то ребру пришли в вершину (и эта вершина не является последней в нашем пути), то из нее нам придется выйти («вошли и вышли, приключение на 20 минут»). А значит, что количество ребер, сходящихся в вершине, не являющейся начальной и конечной, чётно. Какие вершины могут обладать нечётным количеством сходящихся в них ребёр? Только стартовая и финальная (смотрите сами: вышли-вошли-вышли для начала и вошли-вышли-вошли для конца пути, повторить столько раз, сколько нужно). Итак, сформулируем несколько важных предложений:
• Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
• Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
• Если ровно две вершины графа нечётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой из нечётных вершин и завершить его в другой нечетной вершине.
• Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Если посмотрим на схему кёнигсбергских мостов, то заметим четыре нечётные вершины (на самом деле, это вообще все вершины) — следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
#love_графы
Хорошо было в древности: ты алгоритм описал, а его потомки р-раз и в твою честь назвали! Сейчас с этим, конечно, сложнее: авторские права, патенты, защита интеллектуальной собственности…
Но вернемся в 300 год до нашей эры, чтобы познакомиться с автором «Начал». Это древнегреческий математик Евклид, конечно. О его жизни известно очень мало, лишь то, что он жил и работал в Александрии в III веке до н. э. «Начала», кстати, можно считать первым из дошедших до нас сборников с теоретическими изысканиями по математике. Количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространённая) что речь идёт о коллективном псевдониме группы александрийских учёных. Ну что ж, не он последний, в таком случае, привет, Бурбаки!
Вернемся к алгоритму, с которого начали: что же такое «алгоритм Евклида»? Древнегреческие математики называли этот алгоритм: «взаимное вычитание». Этот алгоритм впервые упоминается в Топике Аристотеля. В «Началах» Евклида он описан дважды — для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и для нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. Алгоритм для поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел описан также в I книге древнекитайского трактата «Математика».
Итак, давайте попробуем найти наибольший общий делитель двух чисел.
Возьмем два целых числа a и b (это записывается так: a,b∈ℤ). Самое важное, чтобы одновременно эти числа не равнялись 0.
Пусть большее число (если они различны) обозначено за a. Поделим a на b с остатком и докажем важную лемму: НОД(a,b)=НОД(b,r) (см. рис. 1). Напомню, что НОД(a,b)=(a,b)- наибольший общий делитель чисел a и b.
Теперь перейдем к самому алгоритму Евклида для двух целых чисел. На самом деле, после доказанной леммы алгоритм становится вполне понятным. Мы говорим, что число a нужно поделить на b. Далее поделить b на остаток от деления. И продолжить этот алоритм до получения нулевого остатка. На каждом шаге мы будем получать цепочку равных НОД, а сам алгоритм придет к нулевому остатку (так как на каждом шаге числа уменьшаются, а по определению деления с остатком r≥0). Посмотрим на реализацию алгоритма на рис.2.
Применим алгоритм Евклида для поиска НОД(1965, 345):
1965=345*5+240
345=240*1+105
240=105*2+30
105=30*3+15
30=15*2+0, значит, НОД(1965, 345)=15.
Можно проверить наши вычисления, разложив 1965 и 345 на простые множители.
1965=3*5*131, 345=3*5*23.
Конечно, для небольших чисел процесс разложения на множители не представляет вычислительной сложности. Но что, если перед нами будет стоять задача определить НОД чисел, состоящих из 10, 20, 30 знаков?..
#love_арифметика
Но вернемся в 300 год до нашей эры, чтобы познакомиться с автором «Начал». Это древнегреческий математик Евклид, конечно. О его жизни известно очень мало, лишь то, что он жил и работал в Александрии в III веке до н. э. «Начала», кстати, можно считать первым из дошедших до нас сборников с теоретическими изысканиями по математике. Количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространённая) что речь идёт о коллективном псевдониме группы александрийских учёных. Ну что ж, не он последний, в таком случае, привет, Бурбаки!
Вернемся к алгоритму, с которого начали: что же такое «алгоритм Евклида»? Древнегреческие математики называли этот алгоритм: «взаимное вычитание». Этот алгоритм впервые упоминается в Топике Аристотеля. В «Началах» Евклида он описан дважды — для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и для нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. Алгоритм для поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел описан также в I книге древнекитайского трактата «Математика».
Итак, давайте попробуем найти наибольший общий делитель двух чисел.
Возьмем два целых числа a и b (это записывается так: a,b∈ℤ). Самое важное, чтобы одновременно эти числа не равнялись 0.
Пусть большее число (если они различны) обозначено за a. Поделим a на b с остатком и докажем важную лемму: НОД(a,b)=НОД(b,r) (см. рис. 1). Напомню, что НОД(a,b)=(a,b)- наибольший общий делитель чисел a и b.
Теперь перейдем к самому алгоритму Евклида для двух целых чисел. На самом деле, после доказанной леммы алгоритм становится вполне понятным. Мы говорим, что число a нужно поделить на b. Далее поделить b на остаток от деления. И продолжить этот алоритм до получения нулевого остатка. На каждом шаге мы будем получать цепочку равных НОД, а сам алгоритм придет к нулевому остатку (так как на каждом шаге числа уменьшаются, а по определению деления с остатком r≥0). Посмотрим на реализацию алгоритма на рис.2.
Применим алгоритм Евклида для поиска НОД(1965, 345):
1965=345*5+240
345=240*1+105
240=105*2+30
105=30*3+15
30=15*2+0, значит, НОД(1965, 345)=15.
Можно проверить наши вычисления, разложив 1965 и 345 на простые множители.
1965=3*5*131, 345=3*5*23.
Конечно, для небольших чисел процесс разложения на множители не представляет вычислительной сложности. Но что, если перед нами будет стоять задача определить НОД чисел, состоящих из 10, 20, 30 знаков?..
#love_арифметика
👍1
Гений семейства Бернулли.
Часто ли вы сталкиваетесь с ситуацией, что фамилия не определяет учёного однозначно? Эйлер у нас – один, Леонард. Коши – тоже один. Гаусс? И Карл Гаусс – один. Если вы увлекаетесь математикой или физикой, то, конечно, уже слышали фамилию Бернулли. Но если я скажу "ученый Бернулли", о ком вы подумаете в первую очередь? Или о чем? О формуле Бернулли, о распределении Бернулли, о законе Бернулли? Сколько их – прекрасных математиков, физиков и механиков в семье Бернулли?
Начнем рассказ с 16 века. Из-за религиозных распрей в 1582 году семье купца Якоба Бернулли приходится покинуть Нидерланды и переселиться во Франкфурт-на-Майне, но гонения не прекращаются и внук Якоба, которого тоже зовут Якоб, получает швейцарское гражданство, обосновавшись в Базеле в 1622 году. Сын Якоба, которого историки называют «Николай-старший» родится в 1623 году и станет основателем большой семьи, у Николая родится 11 детей, которые и станут началом династии Бернулли. (Может быть, талант кроется в именах?..)
За три поколения Бернулли дали миру 9 учёных с мировым именем в областях математики и физики. В течение этой недели я буду знакомить вас с некоторыми представителями этой семьи, потому что считаю очень важным знать не только математические законы, но и истории людей, которые их открыли.
#love_люди
Часто ли вы сталкиваетесь с ситуацией, что фамилия не определяет учёного однозначно? Эйлер у нас – один, Леонард. Коши – тоже один. Гаусс? И Карл Гаусс – один. Если вы увлекаетесь математикой или физикой, то, конечно, уже слышали фамилию Бернулли. Но если я скажу "ученый Бернулли", о ком вы подумаете в первую очередь? Или о чем? О формуле Бернулли, о распределении Бернулли, о законе Бернулли? Сколько их – прекрасных математиков, физиков и механиков в семье Бернулли?
Начнем рассказ с 16 века. Из-за религиозных распрей в 1582 году семье купца Якоба Бернулли приходится покинуть Нидерланды и переселиться во Франкфурт-на-Майне, но гонения не прекращаются и внук Якоба, которого тоже зовут Якоб, получает швейцарское гражданство, обосновавшись в Базеле в 1622 году. Сын Якоба, которого историки называют «Николай-старший» родится в 1623 году и станет основателем большой семьи, у Николая родится 11 детей, которые и станут началом династии Бернулли. (Может быть, талант кроется в именах?..)
За три поколения Бернулли дали миру 9 учёных с мировым именем в областях математики и физики. В течение этой недели я буду знакомить вас с некоторыми представителями этой семьи, потому что считаю очень важным знать не только математические законы, но и истории людей, которые их открыли.
#love_люди
Якоб Бернулли
Якоб Бернулли родился в 1654 году в семье купца Николая Бернулли. Отец хотел, чтобы его сын получил богословское образование, но сердце Якоба занимала математика, которой ему пришлось заниматься самостоятельно.
В 1687 году Якоб получает должность преподавателя физики в университете Базеля. В свое время Якоба впечатлил труд Готфрида Вильгельма Лейбница по анализу и Бернулли решил вступить с Лейбницем в переписку, правда, в тот момент Готфрид был в Париже и ответить смог лишь 3 года спустя. Все эти три года Якоб продолжал изучать математику. Конечно, такое увлечение сказалось и на брате Якоба, Иоганне.
Вернувшись из Парижа, Лейбниц ответил Якобу и Иоганну Бернулли, и на протяжении последующих двух десятилетий троица талантливых учёных возглавляла союз математиков Европы. В 1699 году братья Бернулли получили членство Парижской Академии наук.
Впервые несомненных успехов Якоб добился в математике, решив задачу о форме кривой Лейбница. Им же было впервые озвучено и введено в научный обиход понятие "интеграл". К наиболее значимым достижениям старшего Бернулли относится изучение теории рядов, формулировка закона больших чисел, решение задачи о брахистохроне.
Якоб написал монографию, но, к сожалению, не успел опубликовать её при жизни. Его труд был предъявлен миру только через 8 лет после смерти, в 1713 году. Работа называлась "Искусство предположений", представляя собой сочинение по теории вероятностей с рекомендациями по практическому применению.
#love_люди
Якоб Бернулли родился в 1654 году в семье купца Николая Бернулли. Отец хотел, чтобы его сын получил богословское образование, но сердце Якоба занимала математика, которой ему пришлось заниматься самостоятельно.
В 1687 году Якоб получает должность преподавателя физики в университете Базеля. В свое время Якоба впечатлил труд Готфрида Вильгельма Лейбница по анализу и Бернулли решил вступить с Лейбницем в переписку, правда, в тот момент Готфрид был в Париже и ответить смог лишь 3 года спустя. Все эти три года Якоб продолжал изучать математику. Конечно, такое увлечение сказалось и на брате Якоба, Иоганне.
Вернувшись из Парижа, Лейбниц ответил Якобу и Иоганну Бернулли, и на протяжении последующих двух десятилетий троица талантливых учёных возглавляла союз математиков Европы. В 1699 году братья Бернулли получили членство Парижской Академии наук.
Впервые несомненных успехов Якоб добился в математике, решив задачу о форме кривой Лейбница. Им же было впервые озвучено и введено в научный обиход понятие "интеграл". К наиболее значимым достижениям старшего Бернулли относится изучение теории рядов, формулировка закона больших чисел, решение задачи о брахистохроне.
Якоб написал монографию, но, к сожалению, не успел опубликовать её при жизни. Его труд был предъявлен миру только через 8 лет после смерти, в 1713 году. Работа называлась "Искусство предположений", представляя собой сочинение по теории вероятностей с рекомендациями по практическому применению.
#love_люди
Иоганн Бернулли
Считается, что Иоганн Бернулли родился в 1667 году. Иоганн занимался искусством, изучал медицину. К изучению математики Иоганна пристрастил старший брат Якоб, вместе они разбирали труды Лейбница.
Иоганн некоторое время прожил в Париже, занимаясь, в том числе, анализом.
Интересная история связывает Иоганна Бернулли и маркиза де Лопиталя. Возможно, вы уже слышали о правиле Лопиталя для раскрытия неопределенностей. Но фактически открыл это правило Иоганн! Именно он передал черновой вариант своего учения Гийому Франсуа Лопиталю, который впоследствии опубликовал собственный учебник, включив тезисы, изложенные учителем. Только после смерти маркиза Лопиталя Иоганн начал бороться за свое авторство.
Иоганн Бернулли совершил множество открытий в сфере интегральных и дифференциальных вычислений, усовершенствовал решения дифференциальных уравнений, а также открыл уникальное свойство геодезических линий. Иоганн был талантлив не только в математике, но и в физике.
В 1699 году оба брата стали членами Парижской Академии. В 1705 году после смерти Якоба Иоганн вернулся в Базель, начал преподавать греческий язык в университете. С 1708 года до конца своих дней Иоганн Бернулли работал на кафедре математики, основанной Якобом.
#love_люди
Считается, что Иоганн Бернулли родился в 1667 году. Иоганн занимался искусством, изучал медицину. К изучению математики Иоганна пристрастил старший брат Якоб, вместе они разбирали труды Лейбница.
Иоганн некоторое время прожил в Париже, занимаясь, в том числе, анализом.
Интересная история связывает Иоганна Бернулли и маркиза де Лопиталя. Возможно, вы уже слышали о правиле Лопиталя для раскрытия неопределенностей. Но фактически открыл это правило Иоганн! Именно он передал черновой вариант своего учения Гийому Франсуа Лопиталю, который впоследствии опубликовал собственный учебник, включив тезисы, изложенные учителем. Только после смерти маркиза Лопиталя Иоганн начал бороться за свое авторство.
Иоганн Бернулли совершил множество открытий в сфере интегральных и дифференциальных вычислений, усовершенствовал решения дифференциальных уравнений, а также открыл уникальное свойство геодезических линий. Иоганн был талантлив не только в математике, но и в физике.
В 1699 году оба брата стали членами Парижской Академии. В 1705 году после смерти Якоба Иоганн вернулся в Базель, начал преподавать греческий язык в университете. С 1708 года до конца своих дней Иоганн Бернулли работал на кафедре математики, основанной Якобом.
#love_люди
Даниил Бернулли
Иоганн Бернулли работал в Гронингене преподавателем, когда у него в 1700-ом году родился сын Даниил. С юных лет юноша увлекся наукой, пойдя по стопам отца и дяди. Несмотря на увлечение математикой, Даниил успешно защитил диссертацию по медицине и уехал в Италию за врачебным опытом.
В 1724 году Даниил опубликовал сборник «Математические этюды», который принес ему популярность.
Уже в 1725 году вместе со своим братом Николаем, Даниил переезжает в Россию, где, обосновавшись в Санкт-Петербурге, сначала занимается медициной, а после смерти брата начинает преподавать математику в Петербургской Академии Наук.
После смерти императрицы Екатерины Даниил вернулся на родину, оставшись почетным членом Российской Академии Наук.
В 1738 году выходит в свет фундаментальный труд Даниила Бернулли «Гидродинамика», в котором публикуется известный закон Бернулли.
На протяжении всей жизни ученый не был женат и не оставил потомков. Прежде всего, Даниил Бернулли прославился научными трудами по математике, а также по физике, в которых разрабатывал кинетическую теорию газов, гидро- и аэродинамику, теорию упругости и в числе прочего вывел "уравнение Бернулли". Умер Даниил в 1782 году так же, как и жил, прямо за рабочим столом.
#love_люди
Иоганн Бернулли работал в Гронингене преподавателем, когда у него в 1700-ом году родился сын Даниил. С юных лет юноша увлекся наукой, пойдя по стопам отца и дяди. Несмотря на увлечение математикой, Даниил успешно защитил диссертацию по медицине и уехал в Италию за врачебным опытом.
В 1724 году Даниил опубликовал сборник «Математические этюды», который принес ему популярность.
Уже в 1725 году вместе со своим братом Николаем, Даниил переезжает в Россию, где, обосновавшись в Санкт-Петербурге, сначала занимается медициной, а после смерти брата начинает преподавать математику в Петербургской Академии Наук.
После смерти императрицы Екатерины Даниил вернулся на родину, оставшись почетным членом Российской Академии Наук.
В 1738 году выходит в свет фундаментальный труд Даниила Бернулли «Гидродинамика», в котором публикуется известный закон Бернулли.
На протяжении всей жизни ученый не был женат и не оставил потомков. Прежде всего, Даниил Бернулли прославился научными трудами по математике, а также по физике, в которых разрабатывал кинетическую теорию газов, гидро- и аэродинамику, теорию упругости и в числе прочего вывел "уравнение Бернулли". Умер Даниил в 1782 году так же, как и жил, прямо за рабочим столом.
#love_люди
Завершая рассказ о гении семейства Бернулли, хочется отметить, что носители этой звёздной фамилии были, пожалуй, ярчайшей научной династией в истории. Нет другой семьи (пока!) породившей такое количество прекрасных ученых.
Восхищает даже не то, что представители этого рода сделали ряд значительных открытий в разных областях науки, а то, что практически все члены семьи посвятили жизнь преимущественно математике и физике.
Открытиями и формулами Бернулли человечество пользуется до сих пор, уравнения и интегралы изучают в университетах, а физические законы, открытые ими, подняли науку того времени на принципиально новую высоту.
#love_люди
Восхищает даже не то, что представители этого рода сделали ряд значительных открытий в разных областях науки, а то, что практически все члены семьи посвятили жизнь преимущественно математике и физике.
Открытиями и формулами Бернулли человечество пользуется до сих пор, уравнения и интегралы изучают в университетах, а физические законы, открытые ими, подняли науку того времени на принципиально новую высоту.
#love_люди
👍1
Древнеегипетское государство просуществовало более 3000 лет, успев вписать в историю человечества множество своих открытий и достижений.
Кстати, математику тоже можно отнести к достижениям древних египтян. Конечно, само понятие «математика» введут древние греки позже, древние египтяне же, за тысячи лет до греков, использовали и математику, и арифметику, и геометрию, и не только использовали, они научились сохранять знания и передавать их из поколения в поколение.
Египет был сильным и процветающим государством, в котором строились каналы, создавались бассейны и водохранилища, устраивались плотины. Жители Египта занимались судостроением, сооружением дорог, гаваней, дворцов и храмов. И без математики решение этих практических задач было бы невозможно.
Периодические разливы Нила побудили людей создать геометрию, то есть, дословно, землемерие. Нил смывал межи, которые разделяли участки, а потому каждую весну приходилось снова размерять поля. Не исключено, что Пифагор узнал секрет теоремы, названной его именем, в Египте. В Египте эта теорема применялась для определения величин участков земли, при строительстве пирамид Хефрена и Хеопса, плиты которых вытесаны в пропорции 3:4:5. Волшебным числом богини Исиды было «пять», бога Осириса — «четыре», а их сына Гора — «три» (5×5=4×4+3×3, знакомое соотношение, правда?).
Предполагается, что египтяне знали способ вычисления площади круга, который приводил к такому результату, как если бы число равнялось 3,14, хотя понятие «пи» у них не существовало.
Доподлинно известно, что египтяне находили пути решения конкретных задач опытным путем, так как им были неизвестны многие теоретические факты, используя которые они могли бы обосновывать правильность решения математических задач. Поэтому само понятие математики они так и не придумали, хотя, казалось бы, всего лишь объединить и систематизировать знания, дать им название, но подкачало отсутствие философской составляющей. На этом поприще греки, конечно, одержат победу, но позднее.
Сохранилось тридцать шесть оригинальных древнеегипетских математических текстов. В конце XIX века в Египте ученые нашли свиток папируса писца Ахмеса «Наставление о познании всех сокровенных вещей, их сущности и раскрытии всех тайн». Свиток размером пять с четвертью метров на тридцать три сантиметра оказался учебником арифметики, составленным в XVII веке до нашей эры. В учебнике приводится восемьдесят задач, изложены четыре правила арифметики, учение о дробях, правила для измерения поверхности полей, для вычисления объема зернохранилищ. Египтяне умели возводить число в степень, решали уравнения. Вместо алгебраического знака неизвестного «икс» египтянам служила куча зерна — «аха». Это сразу выдает земное, а не небесное происхождение математики.
Об этом свитке я обязательно расскажу подробнее позже!
Пока предлагаю посмотреть на египетские числа-иероглифы:
#love_история_математики #love_Древний_Египет
Кстати, математику тоже можно отнести к достижениям древних египтян. Конечно, само понятие «математика» введут древние греки позже, древние египтяне же, за тысячи лет до греков, использовали и математику, и арифметику, и геометрию, и не только использовали, они научились сохранять знания и передавать их из поколения в поколение.
Египет был сильным и процветающим государством, в котором строились каналы, создавались бассейны и водохранилища, устраивались плотины. Жители Египта занимались судостроением, сооружением дорог, гаваней, дворцов и храмов. И без математики решение этих практических задач было бы невозможно.
Периодические разливы Нила побудили людей создать геометрию, то есть, дословно, землемерие. Нил смывал межи, которые разделяли участки, а потому каждую весну приходилось снова размерять поля. Не исключено, что Пифагор узнал секрет теоремы, названной его именем, в Египте. В Египте эта теорема применялась для определения величин участков земли, при строительстве пирамид Хефрена и Хеопса, плиты которых вытесаны в пропорции 3:4:5. Волшебным числом богини Исиды было «пять», бога Осириса — «четыре», а их сына Гора — «три» (5×5=4×4+3×3, знакомое соотношение, правда?).
Предполагается, что египтяне знали способ вычисления площади круга, который приводил к такому результату, как если бы число равнялось 3,14, хотя понятие «пи» у них не существовало.
Доподлинно известно, что египтяне находили пути решения конкретных задач опытным путем, так как им были неизвестны многие теоретические факты, используя которые они могли бы обосновывать правильность решения математических задач. Поэтому само понятие математики они так и не придумали, хотя, казалось бы, всего лишь объединить и систематизировать знания, дать им название, но подкачало отсутствие философской составляющей. На этом поприще греки, конечно, одержат победу, но позднее.
Сохранилось тридцать шесть оригинальных древнеегипетских математических текстов. В конце XIX века в Египте ученые нашли свиток папируса писца Ахмеса «Наставление о познании всех сокровенных вещей, их сущности и раскрытии всех тайн». Свиток размером пять с четвертью метров на тридцать три сантиметра оказался учебником арифметики, составленным в XVII веке до нашей эры. В учебнике приводится восемьдесят задач, изложены четыре правила арифметики, учение о дробях, правила для измерения поверхности полей, для вычисления объема зернохранилищ. Египтяне умели возводить число в степень, решали уравнения. Вместо алгебраического знака неизвестного «икс» египтянам служила куча зерна — «аха». Это сразу выдает земное, а не небесное происхождение математики.
Об этом свитке я обязательно расскажу подробнее позже!
Пока предлагаю посмотреть на египетские числа-иероглифы:
#love_история_математики #love_Древний_Египет
Кто такие Никола Бурбаки?
Знакомство с именем Бурбаки для меня состоялось 13 лет назад. На полке у соседки по комнате в общежитии мат-меха стоял ничем непримечательный учебник «Элементы математики. Группы и алгебры Ли» за авторством Н. Бурбаки. Я ни разу до того момента не слышала о таком математике, поэтому спросила у подруги, что это за автор.
Кстати, когда вы прочитали название статьи, решили, что в названии допущена опечатка или знали секрет Никола? Удивительно, но Никола Бурбаки, как отдельно взятый человек, никогда не существовал.
В 1935 году группа молодых математиков из парижской École Normale Supérieure (Высшая Нормальная школа), недовольная тем, как преподается математика во Франции, решила организовать пересмотр всей этой науки от самых основ до самых передовых направлений. Андре Вейль, Жан Дельсарт, Жан Дьёдонне, Анри Картан и Клод Шевалле встали во главе общества.
Официально группа Бурбаки назвалась Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki («Ассоциация сотрудников Николя Бурбаки»).
В качестве псевдонима коллектив выбрал имя «Бурбаки». Считается, что это связано, во-первых, с именем генерала Шарля Дени Бурбаки, во-вторых, с розыгрышем, который произошел в 1923 году в Высшей Нормальной школе, где учились многие из основателей группы: Рауль Юссон, бывший в то время студентом третьего курса, разыграл первокурсников, собрав их от имени «профессора Холмгрена» и прочитав запутанную лекцию, финалом которой стало доказательство несуществующей «теоремы Николя Бурбаки».
Впоследствии Никола Бурбаки даже станет профессором университета Нанкаго! (Правда, несуществующего.)
Очень часто, когда говорят о различии в математических институтах разных стран, приводят в пример Францию. Дескать, поглядите, во Франции множество натуральных чисел начинается с нуля! Напомню, что в России мы называем натуральными числами следующие: 1, 2, 3, и т. д., то есть, те, которыми можно пересчитать некоторые объекты или те, которые получаются прибавлением единицы нужное количество раз к единице: 1, 1+1, 1+1+1, … Причем тут Бурбаки, спросите вы?
Давайте обратимся к словам Жан-Пьера Серра, произнесенным на «дуэли» с Владимиром Игоревичем Арнольдом: "Некоторые (намек на Арнольда) считают, что натуральные числа — это те, которые участвуют в натуральном (то есть естественном) счете: «один, два, три...». Но такой экспериментаторский подход ненаучен. С точки зрения нашей высокой науки, «естественный счет» никакого отношения к теории не имеет. Научное определение таково: «Натуральные числа — это мощности конечных множеств». А какое из конечных множеств - самое главное? Разумеется, пустое! Значит, его мощность, то есть нуль, - натуральное число!".
Именно группа Бурбаки определила своей целью абстрактность, формализацию, систематичность и догматизм при создании учебных трактатов.
Существует даже термин «БУРБАКИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ», который описывает происходящее в 50-60-х годах прошлого века в науке. Мировое математическое сообщество частично попало под влияние трактата Бурбаки, что повлияло на стиль изложения математических работ во всём. Полная формализация на основе понятия алгебраической структуры ставилась бурбакистами во главу угла даже школьного курса, из которого фактически была изгнана вся настоящая геометрия. Опыт такого преподавания, особенно в крайних своих формах (например, в Бельгии и во Франции), сам и продемонстрировал свою несостоятельность. Уже в 70-80-х годах во всём мире стал наблюдаться постепенный откат от бурбакистских концепций.
Но жив ли Никола Бурбаки сегодня? И да, и нет. Определенно, существует такое юридическое лицо. Существует и замечательный семинар Бурбаки, и публикуемый им журнал. Но вот Бурбаки, как творческий математик, как великий методист, скорее всего, мертв.
#love_люди
Знакомство с именем Бурбаки для меня состоялось 13 лет назад. На полке у соседки по комнате в общежитии мат-меха стоял ничем непримечательный учебник «Элементы математики. Группы и алгебры Ли» за авторством Н. Бурбаки. Я ни разу до того момента не слышала о таком математике, поэтому спросила у подруги, что это за автор.
Кстати, когда вы прочитали название статьи, решили, что в названии допущена опечатка или знали секрет Никола? Удивительно, но Никола Бурбаки, как отдельно взятый человек, никогда не существовал.
В 1935 году группа молодых математиков из парижской École Normale Supérieure (Высшая Нормальная школа), недовольная тем, как преподается математика во Франции, решила организовать пересмотр всей этой науки от самых основ до самых передовых направлений. Андре Вейль, Жан Дельсарт, Жан Дьёдонне, Анри Картан и Клод Шевалле встали во главе общества.
Официально группа Бурбаки назвалась Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki («Ассоциация сотрудников Николя Бурбаки»).
В качестве псевдонима коллектив выбрал имя «Бурбаки». Считается, что это связано, во-первых, с именем генерала Шарля Дени Бурбаки, во-вторых, с розыгрышем, который произошел в 1923 году в Высшей Нормальной школе, где учились многие из основателей группы: Рауль Юссон, бывший в то время студентом третьего курса, разыграл первокурсников, собрав их от имени «профессора Холмгрена» и прочитав запутанную лекцию, финалом которой стало доказательство несуществующей «теоремы Николя Бурбаки».
Впоследствии Никола Бурбаки даже станет профессором университета Нанкаго! (Правда, несуществующего.)
Очень часто, когда говорят о различии в математических институтах разных стран, приводят в пример Францию. Дескать, поглядите, во Франции множество натуральных чисел начинается с нуля! Напомню, что в России мы называем натуральными числами следующие: 1, 2, 3, и т. д., то есть, те, которыми можно пересчитать некоторые объекты или те, которые получаются прибавлением единицы нужное количество раз к единице: 1, 1+1, 1+1+1, … Причем тут Бурбаки, спросите вы?
Давайте обратимся к словам Жан-Пьера Серра, произнесенным на «дуэли» с Владимиром Игоревичем Арнольдом: "Некоторые (намек на Арнольда) считают, что натуральные числа — это те, которые участвуют в натуральном (то есть естественном) счете: «один, два, три...». Но такой экспериментаторский подход ненаучен. С точки зрения нашей высокой науки, «естественный счет» никакого отношения к теории не имеет. Научное определение таково: «Натуральные числа — это мощности конечных множеств». А какое из конечных множеств - самое главное? Разумеется, пустое! Значит, его мощность, то есть нуль, - натуральное число!".
Именно группа Бурбаки определила своей целью абстрактность, формализацию, систематичность и догматизм при создании учебных трактатов.
Существует даже термин «БУРБАКИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ», который описывает происходящее в 50-60-х годах прошлого века в науке. Мировое математическое сообщество частично попало под влияние трактата Бурбаки, что повлияло на стиль изложения математических работ во всём. Полная формализация на основе понятия алгебраической структуры ставилась бурбакистами во главу угла даже школьного курса, из которого фактически была изгнана вся настоящая геометрия. Опыт такого преподавания, особенно в крайних своих формах (например, в Бельгии и во Франции), сам и продемонстрировал свою несостоятельность. Уже в 70-80-х годах во всём мире стал наблюдаться постепенный откат от бурбакистских концепций.
Но жив ли Никола Бурбаки сегодня? И да, и нет. Определенно, существует такое юридическое лицо. Существует и замечательный семинар Бурбаки, и публикуемый им журнал. Но вот Бурбаки, как творческий математик, как великий методист, скорее всего, мертв.
#love_люди