https://arxiv.org/abs/2506.09609
Schramm-Loewner evolution contains a topological Sierpiński carpet when κ is close to 8
Haoyu Liu, Zijie Zhuang
We consider the Schramm-Loewner evolution (SLEκ) for κ∈(4,8), which is the regime where the curve is self-intersecting but not space-filling. We show that there exists δ0>0 such that for κ∈(8−δ0,8), the range of an SLEκ curve almost surely contains a topological Sierpiński carpet. Combined with a result of Ntalampekos (2021), this implies that in this parameter range, SLEκ is almost surely conformally non-removable, and the conformal welding problem for SLEκ does not have a unique solution. Our result also implies that for κ∈(8−δ0,8), the adjacency graph of the complementary connected components of the SLEκ curve is disconnected.
Schramm-Loewner evolution contains a topological Sierpiński carpet when κ is close to 8
Haoyu Liu, Zijie Zhuang
We consider the Schramm-Loewner evolution (SLEκ) for κ∈(4,8), which is the regime where the curve is self-intersecting but not space-filling. We show that there exists δ0>0 such that for κ∈(8−δ0,8), the range of an SLEκ curve almost surely contains a topological Sierpiński carpet. Combined with a result of Ntalampekos (2021), this implies that in this parameter range, SLEκ is almost surely conformally non-removable, and the conformal welding problem for SLEκ does not have a unique solution. Our result also implies that for κ∈(8−δ0,8), the adjacency graph of the complementary connected components of the SLEκ curve is disconnected.
arXiv.org
Schramm-Loewner evolution contains a topological Sierpiński carpet...
We consider the Schramm-Loewner evolution (SLE$_κ$) for $κ\in (4,8)$, which is the regime where the curve is self-intersecting but not space-filling. We show that there exists...
https://arxiv.org/abs/2506.09486
Definitions of the volume of a big cohomology class
Tiernan Cartwright
We elaborate on how two definitions of the volume of a big cohomology class are consistent. The first definition involves taking the absolutely continuous part of a closed positive current, and the second involves the non-pluripolar product. We also describe how a similar equality holds for the numerical restricted volume introduced by Collins and Tosatti.
Definitions of the volume of a big cohomology class
Tiernan Cartwright
We elaborate on how two definitions of the volume of a big cohomology class are consistent. The first definition involves taking the absolutely continuous part of a closed positive current, and the second involves the non-pluripolar product. We also describe how a similar equality holds for the numerical restricted volume introduced by Collins and Tosatti.
arXiv.org
Definitions of the volume of a big cohomology class
We elaborate on how two definitions of the volume of a big cohomology class are consistent. The first definition involves taking the absolutely continuous part of a closed positive current, and...
Вот в очередной раз убеждаюсь что если в математическом исследовании встречается интеграл который вам удается взять -- то это против бога, даже если получится взять разум только помутнеет от этого. Если встречается сложный интеграл то надо искать тайную структуру (чаще всего она симплектическая) и вычислять с помощью локализации Дюйстермаата-Хекмана.
Так вот, я теперь знаю какие ожидаемые значения диагоналей у случайного полигона (со всеми длинами ребер 1) в R^3.
возьмем правильный n-угольник выберем на нем точку и проведем из нее n-3 диагоналей. теперь мы хотим приписать диагоналям положительные действительные числа так чтобы все неравенства треугольников удовлеторялись (задать полиэдральную метрику если хотите). все такие наборы чисел задают выпуклый политоп в R^+_{n-3}. Координаты его центра масс и есть средние значения диагоналей.
[секретно этот политоп это конечно образ отображения моментов действия тора ассоциированного к триангуляции -- bending flow]
Так вот, я теперь знаю какие ожидаемые значения диагоналей у случайного полигона (со всеми длинами ребер 1) в R^3.
возьмем правильный n-угольник выберем на нем точку и проведем из нее n-3 диагоналей. теперь мы хотим приписать диагоналям положительные действительные числа так чтобы все неравенства треугольников удовлеторялись (задать полиэдральную метрику если хотите). все такие наборы чисел задают выпуклый политоп в R^+_{n-3}. Координаты его центра масс и есть средние значения диагоналей.
[секретно этот политоп это конечно образ отображения моментов действия тора ассоциированного к триангуляции -- bending flow]
👍3
Zenzeli
Вот в очередной раз убеждаюсь что если в математическом исследовании встречается интеграл который вам удается взять -- то это против бога, даже если получится взять разум только помутнеет от этого. Если встречается сложный интеграл то надо искать тайную структуру…
так что похоже что вся эвристика Мирзахани работает для полигонов
кстати вот офигительная теорема о реконструкции Громова-Вершика
mm-пространство это метрическое пространство X с борелевской вероятностной мерой \mu [без атомов]
две эти структура довольно слабо связаны но тем не менее когда они вместе происходит некоторое чудо
классификация вероятностных борелевских мер на польском пространстве [сепарабельном полном] тривиальна -- это просто интервал и
быть может счетное число атомов.
классификация метрических пространств с точностью до изометрии -- совершенно дикая задача.
а для mm-пространств возникает структура:
Теорема
для каждого натурального числа n рассмотрим отображение f: X^n \to Mn
которая набору n точек ставит в соответсвие матрицу попарных расстояний между ними.
обозначим пушфорвард меры произведения как \mu_n
теорема утверждает что мы можем восстановить mm пространство [с точностью до подобающего категории изоморфизма]
по последовательности мер \mu_n
иными словами, если мы независимо случайно выбираем точки по мере \mu то получившаяся вероятностная мера на случайных конечных метрических пространствах определяет mm-пространство.
mm-пространство это метрическое пространство X с борелевской вероятностной мерой \mu [без атомов]
две эти структура довольно слабо связаны но тем не менее когда они вместе происходит некоторое чудо
классификация вероятностных борелевских мер на польском пространстве [сепарабельном полном] тривиальна -- это просто интервал и
быть может счетное число атомов.
классификация метрических пространств с точностью до изометрии -- совершенно дикая задача.
а для mm-пространств возникает структура:
Теорема
для каждого натурального числа n рассмотрим отображение f: X^n \to Mn
которая набору n точек ставит в соответсвие матрицу попарных расстояний между ними.
обозначим пушфорвард меры произведения как \mu_n
теорема утверждает что мы можем восстановить mm пространство [с точностью до подобающего категории изоморфизма]
по последовательности мер \mu_n
иными словами, если мы независимо случайно выбираем точки по мере \mu то получившаяся вероятностная мера на случайных конечных метрических пространствах определяет mm-пространство.
👍1
Zenzeli
кстати вот офигительная теорема о реконструкции Громова-Вершика mm-пространство это метрическое пространство X с борелевской вероятностной мерой \mu [без атомов] две эти структура довольно слабо связаны но тем не менее когда они вместе происходит некоторое…
то есть вот это можно использовать для различения метричесикх пространств например
кидаем точки и смотрим на статистику получающихся конечных метрических пространств
если кидаем одну точку то ничего не видим
если кидаем две начинаем разглядывать размеры -- типа две случайные точки у одного пространства например более отдалены чем у другого
три уже что-то типа кривизны, типа у полусферы сферы более крупные случайные трехточесные пространства должны получаться чаще чем у плоского диска
кажется что очень в духе машинного обучения на самом деле
кидаем точки и смотрим на статистику получающихся конечных метрических пространств
если кидаем одну точку то ничего не видим
если кидаем две начинаем разглядывать размеры -- типа две случайные точки у одного пространства например более отдалены чем у другого
три уже что-то типа кривизны, типа у полусферы сферы более крупные случайные трехточесные пространства должны получаться чаще чем у плоского диска
кажется что очень в духе машинного обучения на самом деле
👍5
https://www.math.uchicago.edu/~lawler/brownloop.pdf
A note on the Brownian loop measure
Gregory F. Lawler
A note on the Brownian loop measure
Gregory F. Lawler
Формула Шлефли.
Вообще формула Шлефли это формула связывающая объем многогранника [в пространственной форме] с изменениями двугранных углов и длин ребер, а также ее многомерные обобщения [а также обощение на идеальные многогранники в гиперболическом пространстве]. У нее также есть гладкии реинкарнации, например утверждение, что интеграл средней кривизны постоянен при изометрических изгибаниях поверхности.
Вот интегрально-геометрическое доказательство, принадлежащее А'Кампо [не опубликовано].
Теорема. Пусть у нас есть гладкое семейство полиэдров P_t в трехмерной пространственной форме M [то есть односвязном пространстве кривизны k= -1, 0 или 1]. Тогда имеет место формула для дифференциала объема:
2kd Vol=\sum l_i d\theta_i
где сумма по всем ребрам и l_i -- это длина i-го ребра а \theta_i -- двугранный угол при этом ребре.
---
понятно что достаточно доказать для симплекса потому что правая часть аддитивна при склейке симплексов.
Есть формула Крофтона:
Vol P = \int_{L\inGr} Area(L\cap P) d\mu
где интеграл берется по инвариантной мере на грассманниане гиперплоскостей. то есть мы берем плоскость пересекаем ее с симплексом, считаем площадь пересечения а потом интегрируем по пространству всех плоскостей.
Если кривизна k не равна нулю то по формуле Гаусса-Бонне площадь сечения тетраэдра это дефект треугольника в сечении, то есть \pi - сумма углов треугольника.
то есть дифференцируя под знаком интеграла получаем
dVol(P_t) = \int_{L\inGr} dArea(L\cap P_t) d\mu =
- \int_{L\inGr} d сумма углов(L\cap P_t) d\mu
интеграл угла перечения плоскости с симплексом теперь можно рассмотреть для каждого ребра как двойной, все плоскости проходящие через точку ребра дадут один и тот же интеграл углов пропорциональный двугранному углу [по такому же аргументу как доказывается формула крофтона -- аддитивность и монотонность дает инвариантную меру которая единственна] поэтому вариация объема будет суммой по всем ребрам произведения длины ребра на дифференциал двугранного угла.
Вообще формула Шлефли это формула связывающая объем многогранника [в пространственной форме] с изменениями двугранных углов и длин ребер, а также ее многомерные обобщения [а также обощение на идеальные многогранники в гиперболическом пространстве]. У нее также есть гладкии реинкарнации, например утверждение, что интеграл средней кривизны постоянен при изометрических изгибаниях поверхности.
Вот интегрально-геометрическое доказательство, принадлежащее А'Кампо [не опубликовано].
Теорема. Пусть у нас есть гладкое семейство полиэдров P_t в трехмерной пространственной форме M [то есть односвязном пространстве кривизны k= -1, 0 или 1]. Тогда имеет место формула для дифференциала объема:
2kd Vol=\sum l_i d\theta_i
где сумма по всем ребрам и l_i -- это длина i-го ребра а \theta_i -- двугранный угол при этом ребре.
---
понятно что достаточно доказать для симплекса потому что правая часть аддитивна при склейке симплексов.
Есть формула Крофтона:
Vol P = \int_{L\inGr} Area(L\cap P) d\mu
где интеграл берется по инвариантной мере на грассманниане гиперплоскостей. то есть мы берем плоскость пересекаем ее с симплексом, считаем площадь пересечения а потом интегрируем по пространству всех плоскостей.
Если кривизна k не равна нулю то по формуле Гаусса-Бонне площадь сечения тетраэдра это дефект треугольника в сечении, то есть \pi - сумма углов треугольника.
то есть дифференцируя под знаком интеграла получаем
dVol(P_t) = \int_{L\inGr} dArea(L\cap P_t) d\mu =
- \int_{L\inGr} d сумма углов(L\cap P_t) d\mu
интеграл угла перечения плоскости с симплексом теперь можно рассмотреть для каждого ребра как двойной, все плоскости проходящие через точку ребра дадут один и тот же интеграл углов пропорциональный двугранному углу [по такому же аргументу как доказывается формула крофтона -- аддитивность и монотонность дает инвариантную меру которая единственна] поэтому вариация объема будет суммой по всем ребрам произведения длины ребра на дифференциал двугранного угла.
👍2
Zenzeli
Формула Шлефли. Вообще формула Шлефли это формула связывающая объем многогранника [в пространственной форме] с изменениями двугранных углов и длин ребер, а также ее многомерные обобщения [а также обощение на идеальные многогранники в гиперболическом пространстве].…
ну понятно что для сферы там будет другой знак, величина кривизны будет нормализацию определять а евклидов случай получается предельным переходом -- там формула Шлефли не дает вариации объема а говорит что симплексы образуют изотропное подпространство в симплектическом пространстве C*^6 (это мне рассказал Родион Д). все это дословно переносится на большие размнрности, просто психологически менее комфортно.
Forwarded from сладко стянул
Скобки Ли и панк-рок
если x▷y — билинейная операция, введём ассоциатор
a(x,y,z) := x▷(y▷z) - (x▷y)▷z.
Руководствуясь геометрическими (Винберг'62) или деформационными (Gerstenhaber'63) соображениями, можно придумать такую аксиому:
Алгеброй Винберга—Кошуля (Koszul—Vinberg algebra), или пред-алгеброй Ли (pre-Lie algebra), называется векторное пространство A вместе с билинейной операцией ▷ такой, что
a(x,y,z) = a(y,z,x).
Позднее их переоткрыли (Аграчёв, Гамкрелидзе '80) под названием "хронологическая алгебра".
Ещё позже было придумано вот такое понятие (Vallette'04), из чисто операдных соображений (это алгебры над операдой, двойственной по Кошулю к коммутативным триалгебрам ):
Пост-алгеброй Ли (post-Lie algebra) называется алгебра Ли L вместе с билинейной операцией ▷ такая, что
x▷[y,z] = [x▷y, z] + [y, x▷z],
[x,y]▷z = a(x,y,z) - a(y,x,z).
То есть: a pre-Lie algebra is a post-Lie algebra whose underlying Lie algebra is abelian. А в жизни всё наоборот: пост-панк — это прото-панк с тривиальной панк-составляющей.)
——————————-
А как такое может возникнутьв нормальной математике?
Если M — гладкое многообразие, ∇ — аффинная связность на нём, то можно рассмотреть пространство
L := Vect(M)
и бинарную операцию
X▷Y := ∇_X (Y).
Коммутатор векторных полей обозначим через [[X,Y]]. Тогда тензор кручения связности — это
T(X,Y):=X▷Y-Y▷X-[[X,Y]],
а тензор кривизны Римана — это
R(X,Y)Z = a(X,Y,Z)-a(Y,X,Z)+T(X,Y)▷Z.
Если R=T=0, то получается алгебра Кошуля—Винберга. Если R=0 и ∇T=0, то получается пост-алгебра Ли относительно скобки Ли [x,y] := -T(x,y). Из-за тождеств Бьянки. Ссылка: https://arxiv.org/abs/1203.4738
(Обратно: на всякой пост-алгебре Ли есть ещё одна скобка Ли [[x,y]]:=x▷y-y▷x+[x,y].)
————————
И вообще пишут: Meanwhile, it was found that post-Lie algebras play an essential role in regularity structures in stochastic analysis [9,10,25]. Recently, post-Lie algebras have been studied from different points of view including constructions of nonabelian generalized Lax pairs, PBW type theorems, factorization theorems and relations to post-Lie groups.
если x▷y — билинейная операция, введём ассоциатор
a(x,y,z) := x▷(y▷z) - (x▷y)▷z.
Руководствуясь геометрическими (Винберг'62) или деформационными (Gerstenhaber'63) соображениями, можно придумать такую аксиому:
Алгеброй Винберга—Кошуля (Koszul—Vinberg algebra), или пред-алгеброй Ли (pre-Lie algebra), называется векторное пространство A вместе с билинейной операцией ▷ такой, что
a(x,y,z) = a(y,z,x).
Позднее их переоткрыли (Аграчёв, Гамкрелидзе '80) под названием "хронологическая алгебра".
Ещё позже было придумано вот такое понятие (Vallette'04), из чисто операдных соображений (
Пост-алгеброй Ли (post-Lie algebra) называется алгебра Ли L вместе с билинейной операцией ▷ такая, что
x▷[y,z] = [x▷y, z] + [y, x▷z],
[x,y]▷z = a(x,y,z) - a(y,x,z).
То есть: a pre-Lie algebra is a post-Lie algebra whose underlying Lie algebra is abelian. А в жизни всё наоборот: пост-панк — это прото-панк с тривиальной панк-составляющей.)
——————————-
А как такое может возникнуть
Если M — гладкое многообразие, ∇ — аффинная связность на нём, то можно рассмотреть пространство
L := Vect(M)
и бинарную операцию
X▷Y := ∇_X (Y).
Коммутатор векторных полей обозначим через [[X,Y]]. Тогда тензор кручения связности — это
T(X,Y):=X▷Y-Y▷X-[[X,Y]],
а тензор кривизны Римана — это
R(X,Y)Z = a(X,Y,Z)-a(Y,X,Z)+T(X,Y)▷Z.
Если R=T=0, то получается алгебра Кошуля—Винберга. Если R=0 и ∇T=0, то получается пост-алгебра Ли относительно скобки Ли [x,y] := -T(x,y). Из-за тождеств Бьянки. Ссылка: https://arxiv.org/abs/1203.4738
(Обратно: на всякой пост-алгебре Ли есть ещё одна скобка Ли [[x,y]]:=x▷y-y▷x+[x,y].)
————————
И вообще пишут: Meanwhile, it was found that post-Lie algebras play an essential role in regularity structures in stochastic analysis [9,10,25]. Recently, post-Lie algebras have been studied from different points of view including constructions of nonabelian generalized Lax pairs, PBW type theorems, factorization theorems and relations to post-Lie groups.
arXiv.org
On post-Lie algebras, Lie--Butcher series and moving frames
Pre-Lie (or Vinberg) algebras arise from flat and torsion-free connections on differential manifolds. They have been studied extensively in recent years, both from algebraic operadic points of...
❤5
Zenzeli
кстати вот офигительная теорема о реконструкции Громова-Вершика mm-пространство это метрическое пространство X с борелевской вероятностной мерой \mu [без атомов] две эти структура довольно слабо связаны но тем не менее когда они вместе происходит некоторое…
доказательство кстати очень простое (принадлежит Вершику)
то есть напомню у нас есть отображение из счетного произведения мм-пространства в бесконечный выпуклый конус M матриц расстояний. нужно выбрать точку m\in M прообраз которой это плотные (тут нужна непрерывность меры) равнораспределенные последовательности точек соответсвенно X и X'. по конструкции они изометричны -- доопределим изометрию по полноте до изометрии между X и X'. так как последовательности равнораспределены по соотвествующим мерам то эта изометрия сохраняет также меру. для этого нужно использовать закон больших чисел, или эргодичность сдвига Бернулли, если хотите.
то есть напомню у нас есть отображение из счетного произведения мм-пространства в бесконечный выпуклый конус M матриц расстояний. нужно выбрать точку m\in M прообраз которой это плотные (тут нужна непрерывность меры) равнораспределенные последовательности точек соответсвенно X и X'. по конструкции они изометричны -- доопределим изометрию по полноте до изометрии между X и X'. так как последовательности равнораспределены по соотвествующим мерам то эта изометрия сохраняет также меру. для этого нужно использовать закон больших чисел, или эргодичность сдвига Бернулли, если хотите.
https://arxiv.org/abs/1001.5140v1
Moore's theorem
Vladlen Timorin
For a closed equivalence relation on the 2-sphere such that all equivalence classes are connected and non-separating, and not all points are equivalent, the quotient space is homeomorphic to the 2-sphere
Moore's theorem
Vladlen Timorin
For a closed equivalence relation on the 2-sphere such that all equivalence classes are connected and non-separating, and not all points are equivalent, the quotient space is homeomorphic to the 2-sphere
arXiv.org
Moore's theorem
In this (mostly expository) paper, we review a proof of the following old theorem of R.L. Moore: for a closed equivalence relation on the 2-sphere such that all equivalence classes are connected...
❤1
Zenzeli
https://arxiv.org/abs/1001.5140v1 Moore's theorem Vladlen Timorin For a closed equivalence relation on the 2-sphere such that all equivalence classes are connected and non-separating, and not all points are equivalent, the quotient space is homeomorphic…
решил посмотреть какой из Муров это
https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Lee_Moore
оказался что этот, среди прочего он прославился тем что был большим расистом
https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Lee_Moore
оказался что этот, среди прочего он прославился тем что был большим расистом
Wikipedia
Robert Lee Moore
American mathematician (1882–1974)
🥰2😎1
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938376900409
Every connected space has the homology of a K(π,1)
D.M. Kan, W.P. Thurston
Every connected space has the homology of a K(π,1)
D.M. Kan, W.P. Thurston
❤1
https://arxiv.org/abs/2506.17071
Homological stability and Manin's conjecture for rational curves on quartic del Pezzo surfaces
Ronno Das, Brian Lehmann, Sho Tanimoto, Philip Tosteson
We prove a version of Manin's conjecture (over 𝔽q for q large) and the Cohen--Jones--Segal conjecture (over ℂ) for maps from rational curves to split quartic del Pezzo surfaces. The proofs share a common method which builds upon prior work of the first and fourth authors. The main ingredients of this method are (i) the construction of bar complexes formalizing the inclusion-exclusion principle and its point counting estimates, (ii) dimension estimates for spaces of rational curves using conic bundle structures, (iii) estimates of error terms using arguments of Sawin--Shusterman based on Katz's results, and (iv) a certain virtual height zeta function revealing the compatibility of bar complexes and Peyre's constant. Our argument substantiates the heuristic approach to Manin's conjecture over global function fields given by Batyrev and Ellenberg--Venkatesh in this case.
Homological stability and Manin's conjecture for rational curves on quartic del Pezzo surfaces
Ronno Das, Brian Lehmann, Sho Tanimoto, Philip Tosteson
We prove a version of Manin's conjecture (over 𝔽q for q large) and the Cohen--Jones--Segal conjecture (over ℂ) for maps from rational curves to split quartic del Pezzo surfaces. The proofs share a common method which builds upon prior work of the first and fourth authors. The main ingredients of this method are (i) the construction of bar complexes formalizing the inclusion-exclusion principle and its point counting estimates, (ii) dimension estimates for spaces of rational curves using conic bundle structures, (iii) estimates of error terms using arguments of Sawin--Shusterman based on Katz's results, and (iv) a certain virtual height zeta function revealing the compatibility of bar complexes and Peyre's constant. Our argument substantiates the heuristic approach to Manin's conjecture over global function fields given by Batyrev and Ellenberg--Venkatesh in this case.
arXiv.org
Homological stability and Manin's conjecture for rational...
We prove a version of Manin's conjecture (over $\mathbb{F}_{q}$ for $q$ large) and the Cohen--Jones--Segal conjecture (over $\mathbb{C}$) for maps from rational curves to split quartic del Pezzo...