Ren{é} Thom and an anticipated h-principle
Francois Laudenbach (LMJL)

https://arxiv.org/abs/1703.08108

The first part of this article intends to present the role
played by Thom in diffusing Smale's ideas about immersion theory, at a
time (1957) where some famous mathematicians were doubtful about them:
it is clearly impossible to make the sphere inside out! Around a decade
later, M. Gromov transformed Smale's idea in what is now known as the
h-principle. Here, the h stands for this http URL
after the astonishing discovery by Smale, Thom gave a conference in
Lille (1959) announcing a theorem which would deserve to be named a
homological h-principle. The aim of our second part is to comment about
this theorem which was completely ignored by the topologists in Paris,
but not in Leningrad. We explain Thom's statement and answer the
question whether it is true. The first idea is combinatorial. A
beautiful subdivision of the standard simplex emerges from Thom's
article. We connect it with the jiggling technique introduced by W.
Thurston in his seminal work on foliations.

Кстати вот каждый раз когда видишь определение выпуклости или полиномиальной выпуклости или голоморфной выпуклости
то хочется то же самое делать для произвольного класса функций

то есть F-выпуклое замыкание компактного подмножества K какого-то многообразия M для класса функций F на M это
{z\in M: |f(z)| \le sup_K f для всех f из M\}

то есть если F это класс всех афинных функций то это выпуклая оболочка и тд

ну и естественный вопрос есть ли что-то типа неравенств Брунна-Минковского для таких обобщенных выпуклых тел
особенно голоморфно выпуклых
и оказывается есть, просто нужно перевести все на язык функций на областях

https://arxiv.org/abs/1807.05844

https://www.proquest.com/openview/676b80bb2de0c8e3fc3a2647157540c6/1?cbl=18750&diss=y&pq-origsite=gscholar

A Plurisubharmonic Analogue to Igusa's Theorem

https://www.utsc.utoronto.ca/people/kupers/wp-content/uploads/sites/50/madridnotes.pdf

Madrid lectures on delooping and h-principles
Alexander Kupers

Delooping is a homotopy-theoretic technique that allows one to upgrade h-
principles from open manifolds to closed manifolds, as long as a certain monoid
is a group, inspired by the determination of the homotopy of the classifying
space of cobordism category by Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss. In this first
lecture I will explain this in an illustrative case: functions with moderate
singularities on simple manifolds. In the second lecture I will explain how to
apply delooping arguments to get h-principles on general closed manifolds.
If time permits, I will indicate how it can yield more general h-principles
“in-the-limit”.

https://arxiv.org/abs/2505.21484

A fixed-point theorem for face maps, or deleting entries in random finite sets
Tom Hutchcroft, Nicolas Monod, Omer Tamuz

We establish a fixed-point theorem for the face maps that consist in deleting the ith entry of an ordered set. Furthermore, we show that there exists random finite sets of integers that are almost invariant under such deletions.

https://arxiv.org/abs/2505.21477

Variétés réelles connexes non stablement rationnelles
Jean-Louis Colliot-Thélène, Alena Pirutka, Federico Scavia

Let R be the field of real Puiseux series. It is a real closed field. We construct the first examples of smooth intersections of two quadrics in P5R and smooth cubic hypersurfaces in P4R which are not stably rational but for which the space X(R) of R-points is semi-algebraically connected. The question of constructing such examples over the field of real numbers R remains open.

Безикович был кстати очень оригинальный математик, сильно менее раскрученный чем того заслуживает. Интересно, что он был по происхождению караимом.

В википедии есть много вещей названных после Безиковича,
мое любимое это неравенство Безиковича, такой очень Громов-стайл минмакс результат:

какую бы риманову метрику мы не взяли на n-мерном кубе, произведение расстояний между парами противоположных граней не превышает объем куба в этой метрике.

даже для квадрата и метрик получающихся из вложений в R² это забавно представить -- мы можем сделать одну пару граней близкой, но тогда попытка сделать вторую пару близкой сильно уменьшит объем.

Также немного про Безиковича есть в воспоминаниях Фримена Дайсона:
https://www.youtube.com/watch?v=elt7uaolLtg

вообще что мы знаем про (риманову) геометрию комплексных проективных гиперповерхностей?

мы знаем все про топологию
мы знаем что средняя кривизна везде равна нулю
мы знаем что объем это степень гиперповерхности
в принципе есть явные формулы для кривизны в теминах определяющего многочлена, но из них ничего непонятно (например почему кривизны плоской кривой не может нигде быть больше двух?)

https://www.carmin.tv/en/video/polynomials-that-vanish-on-many-sets-of-codimension-2

My main goal is to present a somewhat technical result, joint with Karim Adiprasito and Ehud Hrushovski, about the existence of a family of polynomials whose zeros (at a certain desired family of sets) increase faster than their degree.I will explain the 'local' and 'global' consequences of this result. In the unlikely case I have enough time, I shall attempt to elaborate on the relation to quantifier-free stability in Globally Valued Fields.This will be in some sense complementary to my recent talk in Banff.

https://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT9580/v21/dokumenter/spseq.pdf

Spectral Sequences
John Rognes

гриб он неуважения не терпит

https://arxiv.org/abs/math/0402029

Plurisubharmonic functions and positive currents of type (1,1) over almost complex manifolds
Nefton Pali

If (X,J) is an almost complex manifold, then a function u is said to be plurisubharmonic on X if it is upper semi-continuous and its restriction to every local pseudo-holomorphic curve is subharmonic. As in the complex case, it is conjectured that plurisubharmonicity is equivalent to the fact that the (1,1)-current i∂J∂¯Ju is positive, (the (1,1)-current i∂J∂¯Ju need not be closed here). The conjecture is trivial if u is of class 2. The result is elementary in the complex integrable case because the operator i∂J∂¯J can be written as an operator with constant coefficients in complex coordinates. Hence the positivity of the current is preserved by regularising with usual convolution kernels. This is not possible in the almost complex non integrable case and the proof of the result requires a much more intrinsic study. In this chapter we prove the necessity of the positivity of the (1,1)-current i∂J∂¯Ju. We prove also the sufficiency of the positivity in the particular case of an upper semi-continuous function f which is continuous in the complement of the singular locus f−1(−∞). For the proof of the sufficiency of the positivity in the general case of a real distribution u, we suggest a method depending on a rather delicate regularisation argument introduced by Demailly. This method consists of regularing the function u by means of the flow induced by a Chern connection on the tangent bundle of the almost complex manifold.

прикол
расслоение единичных сфер на некомпактном гиперболическом пространстве топологически тривиально, а униформно непрерывного сечения нет

https://www.ams.org/journals/proc/1985-094-03/S0002-9939-1985-0787898-4/S0002-9939-1985-0787898-4.pdf

PSL(k) -- не алгебраическая группа

Ну типа если бы на PSL_2(R) алгебраическая структура бы была, то она была бы в точности неподвижными точками комплексного сопряжения в PSL_2(C), но матрица Diag(i,-i) представляет элемент который инвариантен относительно инволюции и не лежит при этом в
PSL_2(R). Противоречие.

При этом действительно аналитическая структура, как на любой группе Ли, конечно есть.