https://arxiv.org/abs/1007.4218

Calabi-Yau metrics on Kummer surfaces as a model glueing problem
simon Donaldson

This is an expository paper which aims to give a simple proof of the existence of Ricci-flat metrics on certain K3 surfaces, as
an illustration of general "glueing" techniques.

Задачи, обсуждавшиеся в жж ppetya в 2002 году. Некоторые из них были и тут. Возможно не все хорошо известны, хотя большинство уж наверно.

кстати вот прикол
называется конструкция Семмеза
https://www.jstor.org/stable/2374768

Каждому кэлерову классу ставится в соответствие голоморфно симплектическое многообразие так:

покроем наше многообразие картами U_i на каждой из которых кэлерова метрика задается потенциалом
теперь склеим TU_i так
если точка лежит в двух картах то соответсвующие кокасательные вектора v_i и v_j
отождествляем если v_i=v_j+ del(rho_i - rho_j) где rho это соответсвующие кэлеровы потенциалы

из этого пространства есть отображение в кокасательное
(x,v_i) -> (x,v_i-del rho_i )
которое очевидно уважает переклейки

из кокасательного пулбечится комплексная структура и симплектическая форма

причем кэлеровы метрики в этом классе находятся во взаимно-однозначном соответсвии
с точными лагранжевыми подмногообразиями этой штуки

вот тут детали на двенадцатой странице
http://www.numdam.org/item/10.1007/s10240-008-0013-4.pdf

https://arxiv.org/abs/2412.05250

Constructing projective modules
Aravind Asok

We discuss elements of a social history of the theory of projective modules over commutative rings. We attempt to study the question: how did the theory of projective modules become one of "mainstream" focus in mathematics? To do this, we begin in what one might call the pre-history of projective modules, describing the mathematical culture into which the notion of projective module was released. These recollections involve four pieces: (a) analyzing aspects of the theory of fiber bundles, as it impinges on algebraic geometry, (b) understanding the rise of homological techniques in algebraic topology, (c) describing the influence of category-theoretic ideas in topology and algebra and (d) revisiting the story of the percolation of sheaf-theoretic ideas through algebraic geometry.
We will then argue that it was this unique confluence of mathematical events that allowed projective modules to emerge as objects of central mathematical importance. More precisely, we will first argue that, in the context of social currents of the time, projective modules initially were isolated as objects of purely technical convenience reflecting the aesthetic sensibilities of the creators of the fledgling theory of homological algebra. Only later did they transcend this limited role to become objects of "mainstream importance" due to influence from the theory of algebraic fiber bundles and the theory of sheaves. Along the way, we aim to show how strong personal ties emanating from the Bourbaki movement and its connections in mathematical centers including Paris, Princeton and Chicago were essential to the entrance, propagation and mainstream mathematical acceptance of the theory.

офигенный текст [по социологии]

https://arxiv.org/abs/2412.04608

Runge and Mergelyan theorems on families of open Riemann surfaces
Franc Forstneric

In this paper, we develop the Oka theory for maps from families of open Riemann surfaces to any Oka manifold, a new direction in the field. Along the way, we prove Runge and Mergelyan approximation theorems and Weierstrass interpolation theorem for families of complex structures on a smooth open surface, with continuous or smooth dependence of the data and the approximating functions on the complex structure. This implies global solvability of the ∂⎯⎯⎯-equation on such families. We also obtain an Oka principle for complex line bundles on families of open Riemann surfaces, and we show that the holomorphic tangent bundles of open Riemann surfaces are holomorphically trivial in families. We include applications to directed holomorphic immersions and conformal minimal immersions.

https://arxiv.org/abs/2412.05080v1

Hilb3 of a K3 surface
Ekaterina Amerik, Mikhail Lozhkin

We give a new example of potential density of rational points on the third punctual Hilbert scheme of a K3 surface.

охото математическое понятие "вещественный клей"

"Алгебраическая лемма Иомдина-Громова"

Есть константа зависящая от четырех чисел C=C(n,k,r,b)
такая что любое полуалгебраическое множество в [0,1]^n
степени меньше b [то есть сумма степеней всех определяющих уравнений и неравенств] и размерности k
может быть покрыта образами С штук полулгебраических отображений из [0,1]^k причем таких что все производные до порядка r ограниченны единицей.

эта лемма нужна для того чтобы доказывать теорему иомдина-громова о том что энтропия равна лог спектральному радиусу действия на когомологиях (ну для кэлеровых многообразий, без кэлеровости там только неравенство в какую-то сторону).

а также после Пилы-Вилки о-минимальная версия этой леммы очень полезна в диафантовых приближениях.

Как вот доказывать такое утверждение (из первопринципов а не со ссылкой на книжку Вейля)?:

Пусть GL(n) это полная линейная группа а V это ее стандартное представление. Мы хотим описать все инвариантные тензоры этого действия. Во первых понятно что это только тензоры вида
V^\otimes_k \otimes V^*\otimes_k
В V\otimes V* если его идентифицировать с End V есть богом данный инвариант F соответсвующий единичной матрице. Мы можем брать тензорные степени F^k и на каждой еще действует квадрат симметрической группы S_k (переставляем ковариантные компоненты и контравариантные).

так вот F^k и их орбиты по действию S_k\times S_k порождают все инварианты.

потому что есть замечательная статья Howe Remarks on Classical Invariant Theory что в принципе царский путь изложить всю классическую теорию инвариантов на двух страницах это вот доказать утверждение выше, потом из него вывести трюком как у Атии-Ботта-Патоди описание всех инвариантов для ортогональной и симплектической групп, а дальше там миллион приложений.

https://arxiv.org/abs/2412.07053v1

Global variations of Hodge structures of maximal dimension
Nazim Khelifa

We derive a new bound on the dimension of images of period maps of global pure polarized integral variations of Hodge structures with generic Hodge datum of level at least 3. When the generic Mumford-Tate domain of the variation is a period domain parametrizing Hodge structures with given Hodge numbers, we prove that the new bound is at worst linear in the Hodge numbers, while previous known bounds were quadratic. We also give an example where our bound is significantly better than previous ones and sharp in the sense that there is a variation of geometric origin whose period image has maximal dimension (i.e. equal to the new bound).

https://arxiv.org/abs/2412.12307

Geometric realizations of non-symplectic involutions on the Hilbert square of a K3 surface
Ana Quedo

We give new examples of geometric constructions of non-natural non-symplectic involutions of IHS manifolds whose existence is guaranteed by previous results of Bossière-Cattaneo-Nieper-Wiesskirchen-Sarti in arXiv:1410.8387 and Bossiére-Camere-Sarti in arXiv:1402.5154.

https://arxiv.org/abs/2412.15044

Affirmative Resolution of Bourgain's Slicing Problem using Guan's Bound
Boaz Klartag, Joseph Lehec

We provide the final step in the resolution of Bourgain's slicing problem in the affirmative. Thus we establish the following theorem: for any convex body K⊆ℝn of volume one, there exists a hyperplane H⊆ℝn such that
Voln−1(K∩H)>c,
where c>0 is a universal constant. Our proof combines Milman's theory of M-ellipsoids, stochastic localization with a recent bound by Guan, and stability estimates for the Shannon-Stam inequality by Eldan and Mikulincer. ]

https://arxiv.org/abs/2401.15667

Analog category and complexity
Ben Knudsen, Shmuel Weinberger

We study probabilistic variants of the Lusternik--Schnirelmann category and topological complexity, which bound the classical invariants from below. We present a number of computations illustrating both wide agreement and wide disagreement with the classical notions. In the aspherical case, where our invariants are group invariants, we establish a counterpart of the Eilenberg--Ganea theorem in the torsion-free case, as well as a contrasting universal upper bound in the finite case.

центры окружностей, вписанных в треугольники полученные удалением одной из вершин вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника.