Вы может быть не знаете, но Кочер Биркар (великий ученый, филдсовский лауреат, и кстати мой соавтор) выложил вчера два препринта про ограниченность базы эллиптических расслоений на трифолдах Калаби-Яу. Один написан для математиков, второй — для физиков (ну и для математиков).

Восхищает меня больше второй — на него и ссылка. Он написан одновременно на двух языках — теории струн и бирациональной геометрии. То есть буквально на одной странице встречаются неабелевы калибровочные группы и определение модульного дивизора (которое мы, к слову, проходили на курсе по ограниченности многообразий Фано).

Небольшой ликбез. В струнах есть очень красивый кусок — F-теория, в рамках которой можно строить grand unified theories из подручных средств в терминах эллиптически расслоенных многообразий КЯ. При этом возникает симпатичный словарь: поля живут на дивизоре вырождения (для физиков это мировой объем 7-браны), типы которых классифицированы Кодаирой — вот тут я об этом уже писал. Локальная калибровочная группа имеет такую же алгебру Ли, как предсказывает тип особенности. Массы генерируются на слоях над collision points — точками самопересечения дивизора вырождения, высшие взаимодействия — над тройными точками, и так далее. Любопытно, что даже продвинутые вещи типа группы Шафаревича-Тейта в рамках F-теории получают физическую интерпретацию.

Насколько я понимаю, целью Кочера сейчас является доказать ограниченность для многообразий Калаби-Яу в принципе. По идее эта задача должна быть настолько сложнее гипотезы Борисова-Алексеева-Борисова (которую Биркар и доказал) об ограниченности многообразий Фано, насколько вообще изучение геометрии Калаби-Яу сложнее геометрии Фано. То есть насколько изучение геометрии К3 поверхностей сложнее геометрии поверхостей дель Пеццо (сильно сложнее!).

На физическом языке эта задача называется проблемой ландшафта, но тут я уже устал объяснять, о таком много пишут в научно-популярной литературе. Зная Кочера, нельзя исключать, что эта задача тоже будет решена в ближайшие годы. В препринте по ссылке он ограничивает ранг Пикара базы эллиптически расслоенного КЯ-трифолда числом 566 в случае, когда база является раздутием поверхности Хирцебруха (и у этого тоже есть физический смысл).

Продолжаем следить за развитием событий.

https://arxiv.org/abs/1910.14116

On the boundaries of highly connected, almost closed manifolds
Robert Burklund, Jeremy Hahn, Andrew Senger

Building on work of Stolz, we prove for integers 0≤d≤3 and k>232 that the boundaries of (k−1)-connected, almost closed (2k+d)-manifolds also bound parallelizable manifolds. Away from finitely many dimensions, this settles longstanding questions of C.T.C. Wall, determines all Stein fillable homotopy spheres, and proves a conjecture of Galatius and Randal-Williams. Implications are drawn for both the classification of highly connected manifolds and, via work of Kreck and Krannich, the calculation of their mapping class groups.
Our technique is to recast the Galatius and Randal-Williams conjecture in terms of the vanishing of a certain Toda bracket, and then to analyze this Toda bracket by bounding its H𝔽p-Adams filtrations for all primes p. We additionally prove new vanishing lines in the H𝔽p-Adams spectral sequences of spheres and Moore spectra, which are likely to be of independent interest. Several of these vanishing lines rely on an Appendix by Robert Burklund, which answers a question of Mathew about vanishing curves in BP⟨n⟩-based Adams spectral sequences.

On the application of large deviation estimates to local solubility in families of varieties
Sun Woo Park, Efthymios Sofos

We apply the Gärtner--Ellis theorem on large deviations to prove a weak version of the Loughran--Smeets conjecture for general fibrations.

https://arxiv.org/abs/2507.08173

Вчера узнал на докладе Мигела Абреу о гипотезе:
два торических многообразия диффеоморфны тогда и только тогда когда изоморфны их кольца когомологий как градуированные кольца.

они это проверили для многообразий фано ботта
не знаю что еще там известно

вот кстати еще вопрос [услышал от Егора Шелухина]:

Пусть Diff S^1 это группа дифеоморфизмов окружности а Diff(S^3, Vol) группа сохраняющих объем диффеоморфизмов сферы.
Существует ли между ними гомоморфизм [в силу простоты это будет вложение Diff S^1]?
Ну про все диффеоморфизмы тоже интересно.

скорее всего нет конечно.

я не знаю откуда отталкиваться, что я умею так это продолжать любой дифеоморфизм окружности до аналитического дифеоморфизма диска с помощью ядра Пуассона и наверно все
https://en.wikipedia.org/wiki/Rad%C3%B3%E2%80%93Kneser%E2%80%93Choquet_theorem

Quadratic Forms Beyond Arithmetic

Alexander Merkurjev
Raman Parimala

https://www.ams.org/journals/notices/202507/noti3192/noti3192.html

Factoring birational maps of threefolds after Sarkisov. A Corti

Если кому нужно, этой статьи нет в интернете
(нужно загрузить на либген но непонятно что сейчас либген)

обнаружил что являюсь [как и почти все математики обладающие научной степенью] прямым потомком авиценны через посредство непрерывной цепочки академического фистинга

Misha Verbitsky
David A. Kazhdan
Alexandre Aleksandrovich Kirillov
Israel Moiseevich Gelfand
Nikolai Nikolayevich Luzin
Dimitri Fedorowitsch Egorov
Nicolai Vasilievich Bugaev
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß
Christoph Gudermann
Bernhard Friedrich Thibaut
Abraham Gotthelf Kästner
Christian August Hausen
Johann Andreas Planer
Johann Pasch
Michael d. J. Walther
Aegidius Strauch
Nicolaus Zapf
Erasmus Schmidt
Sethus Calvisius
Moritz Valentin Steinmetz
Georg Joachim von Leuchen Rheticus
Nicolaus (Mikołaj Kopernik) Copernicus
Domenico Maria Novara da Ferrara
Johannes Müller Regiomontanus
Basilios Bessarion
Georgios Plethon Gemistos
Demetrios Kydones
Nilos Kabasilas
Gregory Palamas
Theodore Metochites
Manuel Bryennios
Gregory Chioniadis
Shams al‐Dīn al‐Bukhārī
Nasir al-Dīn al-Ṭūsī
Kamāl al-Dīn Ibn Yūnus
Saraf al-Dīn Muhammad al-Masʿūdī al-Marwazī
Ghiyāth al-Dīn Abū al-Fatḥ ʿUmar ibn Ibrāhīm al-Khayyām al-Nīsābūrī
Bahmanyār ibn al-Marzubān
Abu ʿAli al-Husayn (Avicenna) ibn Sina

Кстати вот эвристика как представлять спектральную геометрию риманового многообразия.
Как квантование кинематики точки ака геодезического потока.
Классическое фазовое пространство это T*M с гамильтонианом 1/2|p|^2
Его квантование это линейное пространство L^2 функций на M c действием оператора Лапласа-Бельтрами
Области фазового пространства \Omega_{\le H} с энергией меньше H соответсвует L_{\le H} сумма собственных подпространств с собственными значениями меньше H.
Симплектический объем \Omega_{\le H} примерно пропорционален размерности L_{\le H} [коэффициент пропорциональности -- константа Планка).
Если теперь M компактно то объем \Omega_{\le H} при больших H это это примерно
Vol(M) умноженный на объем шара радиуса sqrt H [если энергия большая то объем шара не сильно в разных слоях отличается], то есть sqrt H в степени dim M на объем единичного евклидового шара. И при этой интерпретации так получается асимптотика Вейля для считающей функции собственных значений лапласиана.

И это позволяет запомнить асимптотику Вейля, откуда там берется H^{d/2} [гамильтониан это квадрат модуля импульса]

Можно ли услышать диаметр клетки Вороного решетки? придумал такую задачу для коллеги которому надо что-то сделать срочно. на матоверфлоу не знают но он совсем дохлый какой-то уже.
иными словами если мы знаем сколько раз целочисленная квадратичная форма принимает каждое из своих значений, можем ли мы восстановить диаметр соотвествующего тора (ака covering radius решетки)?

ну еще меня интересует конечно есть ли какие то ограничения на диаметр в терминах ограничений только на спектр (без знания кривизны).

как я уже много раз тут писал -- мы почти ничего не знаем про дифференциальную геометрию проективных многообразий.

типа что мы знаем:

1) так как кэлерова форма калибрует то любое проективное многообразие в CP^n минимально (в частности средняя кривизна тождественно зануляется)

2) объем гиперповерхности равен ее степени. Между диаметром и объемом есть так называемые Gromov widths которые чувствуют распространенность многообразия в k -направлениях и возможно себя ведут лучше чем диаметра и хуже чем объем.

3) замечательная теорема Герасима Кокорева, обобщающая результат Яу-Ли-Буриньона
https://arxiv.org/abs/1801.02276
которая учит что

k-ое собственное значение лапласиана подмногообразия в CP^n (по отношению к индуцированной метрике Фубини-Штуди) не превышает Сk где С универсальная константа которая зависит только от размерности n и размерности подмногообразия

4) Лемма Шварца гарантирует что голоморфная кривизна подмногообразия не превышает кривизну CP^n

5) Cреднее значение кривизны гладкой кривой в CP^2 равно -1. Максимальное возможное значение кривизны в 2 достигается точно в точках перегиба. Тут конечно хочется как-то сравнивать метрическую геометрию фубини-штуди кривых либо с гиперболической либо с плоской c коническими особеностями.

6) Если коразмерность произвольно большая то все возможно. Это следует из деятельности Стива Зельдича: например любую кэлерову метрику можно приблизительно индуцировать вложением в сечения очень большой степени положительного расслоения. Тут хочется как то проецировать это обратно на маленькую коразмерность.

>Тут хочется как то проецировать это обратно на маленькую коразмерность.

у Берроуза и Гайсина про это есть целая книжка но вообще не понятно

https://arxiv.org/abs/2507.19740

First-order sentences in random groups III
Olga Kharlampovich, Alexei Miasnikov, Rizos Sklinos

We show that a first-order sentence is almost surely true in a random group of density d<1/2 if and only if it is true in a non-abelian free group.

интересно вот например пусть у нас есть счетное компактное метрическое пространство и мы из него сделаем бесконечную матрицу с элементом ij равным exp(-dist(i,j)) то есть как матрица грамма только экспоненциированная и так чтобы если растояние большое то число маленькое.
теперь давайте например считать ее детерминант. скорее всего он будет бесконечным, тогда давайте начнем метрику раздувать умножая на положительноей число t\to \infty и смотреть станет ли он в какой-то момент конечным? если так то что это будет за инвариант?

https://doi.org/10.1016/0021-8693(80)90194-5

B. Harris. Bott Periodicity via Simplicial Spaces (1980)

объясняется, как комплексная периодичность Ботта (Ω²U≅U для бесконечномерной унитарной группы) легко получается просто из диагонализуемости унитарных матриц



это доказательство обсуждается еще в https://vk.com/wall3973145_2336

Если совсем коротко: BU — это грассманиан. Однако, если заставить толпу грассманианов летать по отрезку, то получается снова U, просто по спектральной теореме. Отсюда и периодичность. Красиво же!

https://arxiv.org/abs/2507.15704

Matroids and the integral Hodge conjecture for abelian varieties
Philip Engel, Olivier de Gaay Fortman, Stefan Schreieder

We prove that the cohomology class of any curve on a very general principally polarized abelian variety of dimension at least 4 is an even multiple of the minimal class. The same holds for the intermediate Jacobian of a very general cubic threefold. This disproves the integral Hodge conjecture for abelian varieties and shows that very general cubic threefolds are not stably rational. Our proof is motivated by tropical geometry; it relies on multivariable Mumford constructions, monodromy considerations, and the combinatorial theory of matroids.