Вчера узнал на докладе Мигела Абреу о гипотезе:
два торических многообразия диффеоморфны тогда и только тогда когда изоморфны их кольца когомологий как градуированные кольца.

они это проверили для многообразий фано ботта
не знаю что еще там известно

вот кстати еще вопрос [услышал от Егора Шелухина]:

Пусть Diff S^1 это группа дифеоморфизмов окружности а Diff(S^3, Vol) группа сохраняющих объем диффеоморфизмов сферы.
Существует ли между ними гомоморфизм [в силу простоты это будет вложение Diff S^1]?
Ну про все диффеоморфизмы тоже интересно.

скорее всего нет конечно.

я не знаю откуда отталкиваться, что я умею так это продолжать любой дифеоморфизм окружности до аналитического дифеоморфизма диска с помощью ядра Пуассона и наверно все
https://en.wikipedia.org/wiki/Rad%C3%B3%E2%80%93Kneser%E2%80%93Choquet_theorem

Quadratic Forms Beyond Arithmetic

Alexander Merkurjev
Raman Parimala

https://www.ams.org/journals/notices/202507/noti3192/noti3192.html

Factoring birational maps of threefolds after Sarkisov. A Corti

Если кому нужно, этой статьи нет в интернете
(нужно загрузить на либген но непонятно что сейчас либген)

обнаружил что являюсь [как и почти все математики обладающие научной степенью] прямым потомком авиценны через посредство непрерывной цепочки академического фистинга

Misha Verbitsky
David A. Kazhdan
Alexandre Aleksandrovich Kirillov
Israel Moiseevich Gelfand
Nikolai Nikolayevich Luzin
Dimitri Fedorowitsch Egorov
Nicolai Vasilievich Bugaev
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß
Christoph Gudermann
Bernhard Friedrich Thibaut
Abraham Gotthelf Kästner
Christian August Hausen
Johann Andreas Planer
Johann Pasch
Michael d. J. Walther
Aegidius Strauch
Nicolaus Zapf
Erasmus Schmidt
Sethus Calvisius
Moritz Valentin Steinmetz
Georg Joachim von Leuchen Rheticus
Nicolaus (Mikołaj Kopernik) Copernicus
Domenico Maria Novara da Ferrara
Johannes Müller Regiomontanus
Basilios Bessarion
Georgios Plethon Gemistos
Demetrios Kydones
Nilos Kabasilas
Gregory Palamas
Theodore Metochites
Manuel Bryennios
Gregory Chioniadis
Shams al‐Dīn al‐Bukhārī
Nasir al-Dīn al-Ṭūsī
Kamāl al-Dīn Ibn Yūnus
Saraf al-Dīn Muhammad al-Masʿūdī al-Marwazī
Ghiyāth al-Dīn Abū al-Fatḥ ʿUmar ibn Ibrāhīm al-Khayyām al-Nīsābūrī
Bahmanyār ibn al-Marzubān
Abu ʿAli al-Husayn (Avicenna) ibn Sina

Кстати вот эвристика как представлять спектральную геометрию риманового многообразия.
Как квантование кинематики точки ака геодезического потока.
Классическое фазовое пространство это T*M с гамильтонианом 1/2|p|^2
Его квантование это линейное пространство L^2 функций на M c действием оператора Лапласа-Бельтрами
Области фазового пространства \Omega_{\le H} с энергией меньше H соответсвует L_{\le H} сумма собственных подпространств с собственными значениями меньше H.
Симплектический объем \Omega_{\le H} примерно пропорционален размерности L_{\le H} [коэффициент пропорциональности -- константа Планка).
Если теперь M компактно то объем \Omega_{\le H} при больших H это это примерно
Vol(M) умноженный на объем шара радиуса sqrt H [если энергия большая то объем шара не сильно в разных слоях отличается], то есть sqrt H в степени dim M на объем единичного евклидового шара. И при этой интерпретации так получается асимптотика Вейля для считающей функции собственных значений лапласиана.

И это позволяет запомнить асимптотику Вейля, откуда там берется H^{d/2} [гамильтониан это квадрат модуля импульса]

Можно ли услышать диаметр клетки Вороного решетки? придумал такую задачу для коллеги которому надо что-то сделать срочно. на матоверфлоу не знают но он совсем дохлый какой-то уже.
иными словами если мы знаем сколько раз целочисленная квадратичная форма принимает каждое из своих значений, можем ли мы восстановить диаметр соотвествующего тора (ака covering radius решетки)?

ну еще меня интересует конечно есть ли какие то ограничения на диаметр в терминах ограничений только на спектр (без знания кривизны).

как я уже много раз тут писал -- мы почти ничего не знаем про дифференциальную геометрию проективных многообразий.

типа что мы знаем:

1) так как кэлерова форма калибрует то любое проективное многообразие в CP^n минимально (в частности средняя кривизна тождественно зануляется)

2) объем гиперповерхности равен ее степени. Между диаметром и объемом есть так называемые Gromov widths которые чувствуют распространенность многообразия в k -направлениях и возможно себя ведут лучше чем диаметра и хуже чем объем.

3) замечательная теорема Герасима Кокорева, обобщающая результат Яу-Ли-Буриньона
https://arxiv.org/abs/1801.02276
которая учит что

k-ое собственное значение лапласиана подмногообразия в CP^n (по отношению к индуцированной метрике Фубини-Штуди) не превышает Сk где С универсальная константа которая зависит только от размерности n и размерности подмногообразия

4) Лемма Шварца гарантирует что голоморфная кривизна подмногообразия не превышает кривизну CP^n

5) Cреднее значение кривизны гладкой кривой в CP^2 равно -1. Максимальное возможное значение кривизны в 2 достигается точно в точках перегиба. Тут конечно хочется как-то сравнивать метрическую геометрию фубини-штуди кривых либо с гиперболической либо с плоской c коническими особеностями.

6) Если коразмерность произвольно большая то все возможно. Это следует из деятельности Стива Зельдича: например любую кэлерову метрику можно приблизительно индуцировать вложением в сечения очень большой степени положительного расслоения. Тут хочется как то проецировать это обратно на маленькую коразмерность.

>Тут хочется как то проецировать это обратно на маленькую коразмерность.

у Берроуза и Гайсина про это есть целая книжка но вообще не понятно

https://arxiv.org/abs/2507.19740

First-order sentences in random groups III
Olga Kharlampovich, Alexei Miasnikov, Rizos Sklinos

We show that a first-order sentence is almost surely true in a random group of density d<1/2 if and only if it is true in a non-abelian free group.

интересно вот например пусть у нас есть счетное компактное метрическое пространство и мы из него сделаем бесконечную матрицу с элементом ij равным exp(-dist(i,j)) то есть как матрица грамма только экспоненциированная и так чтобы если растояние большое то число маленькое.
теперь давайте например считать ее детерминант. скорее всего он будет бесконечным, тогда давайте начнем метрику раздувать умножая на положительноей число t\to \infty и смотреть станет ли он в какой-то момент конечным? если так то что это будет за инвариант?

https://doi.org/10.1016/0021-8693(80)90194-5

B. Harris. Bott Periodicity via Simplicial Spaces (1980)

объясняется, как комплексная периодичность Ботта (Ω²U≅U для бесконечномерной унитарной группы) легко получается просто из диагонализуемости унитарных матриц



это доказательство обсуждается еще в https://vk.com/wall3973145_2336

Если совсем коротко: BU — это грассманиан. Однако, если заставить толпу грассманианов летать по отрезку, то получается снова U, просто по спектральной теореме. Отсюда и периодичность. Красиво же!

https://arxiv.org/abs/2507.15704

Matroids and the integral Hodge conjecture for abelian varieties
Philip Engel, Olivier de Gaay Fortman, Stefan Schreieder

We prove that the cohomology class of any curve on a very general principally polarized abelian variety of dimension at least 4 is an even multiple of the minimal class. The same holds for the intermediate Jacobian of a very general cubic threefold. This disproves the integral Hodge conjecture for abelian varieties and shows that very general cubic threefolds are not stably rational. Our proof is motivated by tropical geometry; it relies on multivariable Mumford constructions, monodromy considerations, and the combinatorial theory of matroids.

INJECTIVITY RADIUS AND GONALITY OF A COMPACT
RIEMANN SURFACE
https://www.jstor.org/stable/41426426

https://arxiv.org/abs/2507.15695

Combinatorics and Hodge theory of degenerations of abelian varieties: A survey of the Mumford construction
Philip Engel, Olivier de Gaay Fortman, Stefan Schreieder

We survey the Mumford construction of degenerating abelian varieties, with a focus on the analytic version of the construction, and its relation to toric geometry. Moreover, we study the geometry and Hodge theory of multivariable degenerations of abelian varieties associated to regular matroids, and extend some fundamental results of Clemens on 1-parameter semistable degenerations to the multivariable setting.

https://arxiv.org/abs/2508.00820

Mean curvature of direct image bundles
Kuang-Ru Wu

Let E→X be a vector bundle of rank r over a compact complex manifold X of dimension n. It is known that if the line bundle OP(E∗)(1) over the projectivized bundle P(E∗) is positive, then E⊗detE is Nakano positive by the work of Berndtsson. In this paper, we give a subharmonic analogue. Let p:P(E∗)→X be the projection and α be a Kähler form on X. If the line bundle OP(E∗)(1) admits a metric h with curvature Θ positive on every fiber and Θr∧p∗αn−1>0, then E⊗detE carries a Hermitian metric whose mean curvature is positive.
As an application, we show that the following subharmonic analogue of the Griffiths conjecture is true: if the line bundle OP(E∗)(1) admits a metric h with curvature Θ positive on every fiber and Θr∧p∗αn−1>0, then E carries a Hermitian metric with positive mean curvature.

https://arxiv.org/abs/2508.00056v1

Volume as an index of a subalgebra
Samuel Leutheusser, Hong Liu

We propose a new way to understand the volume of certain subregions in the bulk of AdS spacetime by relating it to an algebraic quantity known as the index of inclusion. This index heuristically measures the relative size of a subalgebra  embedded within a larger algebra . According to subregion-subalgebra duality, bulk subregions are described by von Neumann algebras on the boundary. When a causally complete bulk subregion corresponds to the relative commutant ′∩ -- the set of operators in  that commute with  -- of boundary subalgebras, we propose that the exponential of the volume of the maximal volume slice of the subregion equals the index of inclusion. This ``volume-index'' relation provides a new boundary explanation for the growth of interior volume in black holes, reframing it as a change in the relative size of operator algebras. It offers a complementary perspective on complexity growth from the Heisenberg picture, and has a variety of other applications, including quantifying the relative size of algebras dual to the entanglement wedge and the causal wedge of a boundary region, as well as quantifying the violation of additivity of operator algebras in the large N limit. Finally, it may offer insights into the volume growth of de Sitter space through the changes in North and South pole observer algebras in time.

https://arxiv.org/abs/2508.02655

Rado's paracompactness theorem for conformal manifolds
Michael Kapovich

We prove that every manifold of dimension ≥2 admitting a conformal structure is paracompact.