https://web.math.princeton.edu/~rvan/yairb190305.pdf

MIXED VOLUMES AND THE BOCHNER METHOD
YAIR SHENFELD AND RAMON VAN HANDEL

Abstract. At the heart of convex geometry lies the observation that the volume of convex bodies behaves as a polynomial. Many geometric inequalities may be expressed in terms of the coefficients of this polynomial, called mixed volumes. Among the deepest results of this theory is the Alexandrov-Fenchel inequality, which subsumes many known inequalities as special cases. The aim of this note is to give new proofs of the Alexandrov-Fenchel inequality and of its matrix counterpart, Alexandrov’s inequality for mixed discriminants, that appear conceptually and technically simpler than earlier proofs and clarify the underlying structure. Our main observation is that these inequalities can be reduced by the spectral theorem to certain trivial “Bochner formulas”.

Кстати вот прикольная теореме Фекете-Сеге

пусть компактное множество K на комплексной плоскости имеет логарифмическую емкость C(K)

тогда

1) Если C(K)<1 то есть открытое множество U содержащее K такое что есть только конечное количество алгебраических чисел которые содержатся в U вместе со всеми своими сопряженными

2) Если C(K)\ge 1 то любое открытое множество U содержащее K содержит бесконечно много алгебраических чисел со всеми их сопряженными

логарифмическая емкость определяется так

это что-то вроде ожидаемого расстояния между двумя точками, причем считаем по всем мерам и берем инф

только не самого расстояния логарифм обратной к расстоянию величины

а потом еще экспоненциируем

но мораль в том что это чисто геометрическая величина, типа диаметра [она еще называется трансфинитным диаметром]

а теорема Сеге-Фекете говорит нам насколько это множество большое с точки зрения теории чисел
большое в этом смысле это содержащее бесконечно много орбит абсолютной группы Галуа [быть может после утолщения до открытого множества]

вот альтернативное определение трансфинитного диаметра

просто диаметр это очень плохой инвариант очень капризный
по большому счета все результаты по оценке диаметра которые встречал основаны либо на том что если склеиваем два пространства в точке то диаметр обычно примерно складывается (при этом если пересечение не в точке то все)
либо если мы знаем что можем покрыть наше пространство (например минимизирующую геодезическую реализующую диаметр если повезет) N шарами диаметра не больше D, то диаметр не больше DN, что дает очень грубую оценку, которую комбинаторикой пересечений можно улучшить но типа в моей задаче сильно не так хорошо как ожидается.

поэтому конечно хочется рассматривать какие то более гибкие метрические инварианты которые с диаметром имеют одинаковые свойства ограниченности например.

ну вот матожидание расстояния между двумя точками mm-пространства навскидку. если у последовательности пространств оно стремится к бесконечности то диаметр тоже должен стремиться к бесконечности. но это матожидание скорее всего имеет лучшие свойства (диаметр вариационно определяется и от этого надо избавляться), потому что это интеграл (например o-минимальность как функции наверно более сподручно будет доказать если это правда).

простите за фелосафию у меня визионерский эпизод

http://math.uchicago.edu/~shmuel/lg-readings/Rumley.pdf

офигительная статья Румели где вариант этой теоремы применяется для того чтобы доказать что десятая проблема Гильберта
надо кольцом O всех алгербаических целых имеет положительное решение.
то есть СУЩЕСТВУЕТ алгоритм который для любого диофантова уравнения с коэффициентами в O говорит есть ли у него решение в O.

Рекламирую кстати конференцию

Combinatorics and Geometry in Mytilene

https://sites.google.com/view/cgm-mytilene-2026/home

на острове Лесбос в городе Митилени, родине Сапфо

Systolic Inequality and Scalar Curvature
Shunichiro Orikasa

We investigate the interaction between systolic geometry and positive scalar curvature through spinorial methods. Our main theorem establishes an upper bound for the two-dimensional stable systole on certain high-dimensional manifolds with positive scalar curvature under a suitable stretch-scale condition. The proof combines techniques from geometric measure theory, reminiscent of Gromov's systolic inequality, with curvature estimates derived from the Gromov-Lawson relative index theorem. This approach provides a new framework for studying the relationship between positive scalar curvature metrics and systolic geometry in higher-dimensional manifolds.

https://arxiv.org/abs/2509.17376

чтобы не забыть, вопрос. вероятно гроб, но важный

давайте говорить что симплициальный комплекс ограниченной геометрии если любой симплекс любой размерности содержится не больше чем в k симплексах.

пусть нам дана триангуляция S^2\times S^2 с k-ограниченной геометрией. пусть s -- минимальное число симплексов в Z_2-гомологически нетривиальном 2-подкомплексе (s типа систола).

Вопроc: есть ли нижняя граница на число максимальных симплексов триангуляции вида c(k)s^2

где с -- константа зависящая от ограниченности геометрии (грубо можно думать как про ограниченность снизу кривизны)

Если есть то это систолическое неравенство (как для тора), если нет то систолическая свобода (как для CP^2)

Инвариантные диференциальные соотношения и теорема Безу на торе. Часть 1


Вот простое наблюдение: пусть A -- инвариантное распределение на простом абелевом многообразии (над C). То есть мы выбрали собственное подпространство в касательном пространстве в единице и разнесли его по всему тору.
Утверждается что не существует замкнутой кривой которая касалась бы распределения в своих гладких точках. То есть например у инвариантного векторного поля на торе нет глобальных замкнутых решений (в явном контрасте с действительным случаем).

Доказательство:
Пусть такая кривая C есть. Сдвинем ее, если нужно, чтобы она проходила через нуль, также можем предположить что она неприводима.
Рассмотрим отображения f_{m,n} из степени C^{n+m} в A
x_1+...+x_n-x_{n+1} - ... - x_{n+1}
Его образ --- неприводимое подмногообразие, которое касается распределения почти везде (касательный вектор в направлении каждого фактора отправлется в вектор касательный к кривой, потом складываем).
С другой стороны, образы f_{m,n} стабилизируются для каких-то M и N, так что все образы f_{>M,>N} совпадают. То есть этот предел замкнут относительно сложения и вычитания и таким образом является абелевым подмногообразием, то есть всем A в силу простоты. То есть имеет полную размерность, что противоречит предыдущему замечанию что оно касательно распределению.

В следущем посте мы применим это к тому чтобы доказать теорему Безу: в простом абелевом многообразии A два подмногообразия сумма размерностей которых хотя бы равна размерности A пересекаются.

Инвариантные диференциальные соотношения и теорема Безу на торе. Часть 2

Теорема: Пусть X,Y два подмногообразия в простом абелевом многообразии A. Если dim X+dim Y = dim A то X и Y пересекаются.

Доказательство:
Давайте доказывать что X-Y это вообще все A.
То есть что отображение f: (x,y) \mapsto x-y сюръективно. Образ является замкнутым подмногообразием Z. Если он не все A, то размерность его меньше размерности источника X\times Y, значит все слои имеют положительную размерность. Давайте выберем такой слой который отображается в гладкую точку p и сам содержит гладкую точку X\times Y. Проведем через нее кривую C лежащую в этом слое.
Касательное пространство к гладкой точке X\times Y с помощью производной нашего отображения отправляется в собственное подпространство T_z Z \subset T_z(A).
Разнесем это собственное подпространство по всему A до распределения D. Теперь возьмем проекцию F нашей кривой C на X или Y, чтобы получилась кривая, скажем в X. Эта кривая в своих гладких точках касается D:
действительно,
любая точка на C имеет по конструкции вид (x, z-x)
Локально f это просто обычная разность векторов и отождествляя все касательные пространства сдвигами получаем что
T_x X + T_{z-x} Y лежит в T_z Z то есть касается D.
Касательное пространство к F лежит в T_x X и значит тоже касается D.

По лемме из предыдущего поста получаем противорчечие.

Эта лемма причем не верна в положительной характеристике -- см. контрпример Дэна Абрамовича:
https://www.math.iitb.ac.in/~dprasad/bezout.pdf
(это статья, которую я пересказал -- она клевая и почему-то неиндексируется гугл-сколаром)

Однако сама "теорема Безу" верна, хотя и доказывается по-другому, используя конволюции превратных пучков:

Bézout's theorem for abelian varieties
Olivier Debarre, Ben Moonen
https://arxiv.org/abs/2509.14940v1

Вообще свойство многообразия быть "многообразием Безу" (не нашел такого употребления в литературе) интересное. У него должны быть занятные диференциально-геометрические реперкуссии.

Какие еще многообразия Безу бывают кроме простых торов и проективных пространств? Ну например там исключительных дивизоров не должно быть.

какие неравенства бывают между объемами аналитических циклов на кэлеровом многообразии когда мы варьируем кэлерову метрику?
есть ли там систолические неравенства или систолическая свобода?

например на поверхности если мы фиксируем ее объем (int_M \omega_g^2) могут ли все кривые иметь сколько угодно большой объем при варьировании g?

Probabilistic intersection theory in Riemannian homogeneous spaces Paul Breiding, Peter Bürgisser, Antonio Lerario, Léo Mathis
arxiv.org/abs/2502.08256

Let M=G/H be a Riemannian homogeneous space, where G is a compact Lie group with closed subgroup H. Classical intersection theory states that the de Rham cohomology ring of M describes the signed count of intersection points of submanifolds Y1,…,Ys of M in general position, when the codimensions add up to dimM.

We introduce the probabilistic intersection ring H𝔼(M), whose multiplication describes the unsigned count of intersection points, when the Yi are randomly moved by independent uniformly random elements of G. The probabilistic intersection ring H𝔼(M)
has the structure of a graded commutative and associative real Banach
algebra. It is defined as a quotient of the ring of Grassmann zonoids of
a fixed cotangent space V of M.
The latter was introduced by the authors in [Adv. Math. 402, 2022].
There is a close connection to valuations of convex bodies: H𝔼(M) can be interpreted as a subspace of the space of translation invariant, even, continuous valuations on V, whose multiplication coincides with Alesker's multiplication for smooth valuations.

We describe the ring structure of the probabilistic intersection
ring for spheres, real projective space and complex projective space,
relying on Fu [J. Diff. Geo. 72(3), 2006] for the latter case. From
this, we derive an interesting probabilistic intersection formula in
complex projective space. Finally, we initiate the investigation of the
probabilistic intersection ring for real Grassmannians, outlining the
construction of a probabilistic version of Schubert Calculus.

https://mathoverflow.net/questions/418554/is-there-a-good-mathematical-explanation-for-why-orbital-lengths-in-the-periodic

обсуждение таблицы Менделеева с точки зрения теории представлений

a problem (rather a conjecture, there can be a counterexample):

given a unit square and its triangulation (say without vertices on the edges of the square)
at least one the distances between orange points or between purple points is less then 2
(the distance in the intrinsic metric of the triangulation graph)